四面体の性質をベクトルで証明する、向かい合う辺の垂直と中線の交点

四面体で向かい合う 2 組の辺が垂直なら、残る 1 組もかならず垂直になります。証明に使うのは展開 1 回。

$A$ を始点にとって、次の和を作ります。

$$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CD}+\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{DB}+\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{BC}$$

展開するとすべての項が打ち消し合って $0$ になります。3 つのうち 2 つが $0$ なら、3 つ目も $0$。

四面体の定理は、たいていこの調子で片づきます。図に補助線を引くのではなく、位置ベクトルで書いて展開する。

証明の型は 1 つ

四面体の証明でも、始点を 1 つ決めて位置ベクトルで書く手順は変わりません。

長さや垂直が絡めば 2 乗して内積に直し、比や平行が絡めば実数倍の形にそろえる。あとは展開して見比べます。

始点は、いちばん多くの辺が集まる頂点にとると項が減る。$A$ を始点にすれば $\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AC}$、$\overrightarrow{AD}$ の 3 本ですべてを書けます。

例：向かい合う辺の垂直

$A$ を始点にとり、$\overrightarrow{AB}=\vec{b}$、$\overrightarrow{AC}=\vec{c}$、$\overrightarrow{AD}=\vec{d}$ とします。

$\overrightarrow{CD}=\vec{d}-\vec{c}$、$\overrightarrow{DB}=\vec{b}-\vec{d}$、$\overrightarrow{BC}=\vec{c}-\vec{b}$ です。3 つの内積を足す。

$$\begin{array}{rl}& \vec{b}\cdot (\vec{d}-\vec{c})+\vec{c}\cdot (\vec{b}-\vec{d})+\vec{d}\cdot (\vec{c}-\vec{b})\\ & =\vec{b}\cdot \vec{d}-\vec{b}\cdot \vec{c}+\vec{c}\cdot \vec{b}-\vec{c}\cdot \vec{d}+\vec{d}\cdot \vec{c}-\vec{d}\cdot \vec{b}\\ & =0\end{array}$$

6 つの項が 2 つずつ打ち消し合いました。だから 3 つの内積の和は、どんな四面体でも $0$ です。

2 組が垂直なら、その 2 つの内積が $0$。残る 1 つも $0$ になり、3 組目も垂直になります。

例：正四面体では 3 組とも垂直

1 辺 $a$ の正四面体で $A$ を始点にとる。$|\vec{b}|=|\vec{c}|=|\vec{d}|=a$ で、どの 2 本のなす角も $60^{\circ }$ です。

内積はどれも $a\times a\times \frac{1}{2}=\frac{a^2}{2}$。

$$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CD}=\vec{b}\cdot (\vec{d}-\vec{c})=\frac{a^2}{2}-\frac{a^2}{2}=0$$

向かい合う辺が垂直になりました。ほかの 2 組も同じ計算です。

例：正四面体の対辺のなす角

いまの計算から、$\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{CD}$ のなす角は $90^{\circ }$ です。

隣り合う辺、たとえば $\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ なら内積が $\frac{a^2}{2}$ で、$\cos \theta =\frac{1}{2}$ から $60^{\circ }$。

正四面体に現れる角は $60^{\circ }$ と $90^{\circ }$ の 2 種類です。隣り合うか向かい合うかで決まります。

例：向かい合う辺の中点を結ぶ線分

辺 $AB$ の中点を $M$、辺 $CD$ の中点を $N$ とします。$O$ を始点にとる。

$\overrightarrow{OM}=\frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}$、$\overrightarrow{ON}=\frac{\vec{c}+\vec{d}}{2}$ です。$MN$ の中点を計算します。

$$\frac{1}{2}\left(\frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}+\frac{\vec{c}+\vec{d}}{2}\right)=\frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}}{4}$$

四面体の重心そのものになりました。向かい合う辺の組は 3 通りあるので、3 本の線分がすべて重心を通り、そこで二等分される。

対称な式を作って、真ん中で割る。それだけの計算になっています。

例：4 本の中線が 1 点で交わる

面 $BCD$ の重心を $G_A$ とすると $\overrightarrow{O{G}_A}=\frac{\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}}{3}$ です。線分 $A{G}_A$ を $3:1$ に内分する点を計算します。

$$\frac{1\cdot \vec{a}+3\cdot \frac{\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}}{3}}{4}=\frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}}{4}$$

どの頂点から始めても同じ式になります。$\vec{a}$ と残り 3 つの立場が対称だからです。

4 本の中線がすべて重心を通り、$3:1$ に分けられる。式の対称性が、そのまま定理になっています。

例：面の重心を結んでできる四面体

4 つの面の重心を頂点とする四面体を考えます。面 $BCD$ の重心が $G_A$、面 $ACD$ の重心が $G_B$。

$\overrightarrow{G_A{G}_B}=\frac{\vec{a}+\vec{c}+\vec{d}}{3}-\frac{\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}}{3}=\frac{\vec{a}-\vec{b}}{3}$ です。

$\overrightarrow{BA}$ の $\frac{1}{3}$ 倍。どの 2 つの面の重心をとっても、同じ形になります。

もとの四面体と相似で、比は $1:3$。向きは反対になります。共通する項が消えて差だけが残る、という計算の型が効いている。

例：長さが絡む証明

四面体 $ABCD$ で $AB=CD$、$AC=BD$、$AD=BC$ が成り立つとします。向かい合う辺の長さが 3 組ともそろっている形です。

$A$ を始点にとると $|\vec{b}|=|\vec{d}-\vec{c}|$、$|\vec{c}|=|\vec{b}-\vec{d}|$、$|\vec{d}|=|\vec{c}-\vec{b}|$。すべて 2 乗します。

1 つ目から $|\vec{b}{|}^2=|\vec{d}{|}^2-2\vec{c}\cdot \vec{d}+|\vec{c}{|}^2$。3 つとも同じように書き、足したり引いたりして内積を求めます。

長さの条件は 2 乗して内積へ、垂直の条件はそのまま内積へ。どちらも同じ場所に落ちるので、混ぜて使えます。

まちがえやすいところ

始点をあちこちに移すと項が増えます。$A$ に固定して $\vec{b}$、$\vec{c}$、$\vec{d}$ の 3 本だけで書き切るほうが、展開が短くなる。

内積の順番を入れかえてよいことを使わないと、打ち消し合いが見えません。$\vec{b}\cdot \vec{c}$ と $\vec{c}\cdot \vec{b}$ は同じ値です。

長さの条件は、そのままでは展開できません。2 乗して内積に直してから並べます。

図に補助線を足す前に、位置ベクトルで書いて展開してみる。四面体の定理は、その 1 手でほとんど片づきます。