空間ベクトルの直線と平面〜係数の和が 1 になるところが交点

四面体 $OABC$ で、$\overrightarrow{OP}=\frac{1}{2}\vec{a}+t(\vec{b}+\vec{c})$ が平面 $ABC$ と交わるのは $t=\frac{1}{4}$ のときです。

係数の和は $\frac{1}{2}+2t$。これが $1$ になる $t$ を解くところで交点が決まります。

直線上の点として書いてから、平面の条件を当てます。未知数は 1 つだから、式も 1 つで足りる。

直線上の点として書く

直線は、通る点と方向ベクトルで決まりました。空間でも同じです。

$$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OD}+t\vec{u}$$

$t$ を動かすと $P$ が直線をなぞる。ここまでは平面のときと変わりません。

この $\overrightarrow{OP}$ を $\vec{a}$、$\vec{b}$、$\vec{c}$ の式に直します。すると $t$ を含んだ 3 つの係数が現れる。

平面上の条件は係数の和が 1

平面 $ABC$ 上の点は、$\vec{a}$、$\vec{b}$、$\vec{c}$ の係数の和が $1$ になるのでした。

直線上の点の係数を足して $1$ と置けば、$t$ についての方程式が 1 つできます。

未知数 1 つに式 1 つ。交点は 1 つに決まります。

例：四面体で交点を求める

$\overrightarrow{OP}=\frac{1}{2}\vec{a}+t(\vec{b}+\vec{c})$ とします。展開すると $\frac{1}{2}\vec{a}+t\vec{b}+t\vec{c}$。

係数の和は $\frac{1}{2}+t+t=\frac{1}{2}+2t$ です。これを $1$ と置きます。

$2t=\frac{1}{2}$ から $t=\frac{1}{4}$。交点は $\frac{1}{2}\vec{a}+\frac{1}{4}\vec{b}+\frac{1}{4}\vec{c}$ になりました。

3 つの係数がすべて正のため、この点は三角形 $ABC$ の内部にあります。

例：四面体の重心を通る直線

四面体 $OABC$ の重心は $\overrightarrow{OG}=\frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{4}$ です。直線 $OG$ を伸ばしてみる。

$\overrightarrow{OP}=t\cdot \frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{4}$ で、係数の和は $\frac{3t}{4}$。$1$ と置いて $t=\frac{4}{3}$ です。

交点は $\frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}$ で、三角形 $ABC$ の重心にあたります。

$t$ が $1$ から $\frac{4}{3}$ へ進んだので $OG:GP=3:1$。四面体の重心が中線を $3:1$ に分ける話と重なりました。

例：座標で交点を求める

$A(3,0,0)$、$B(0,3,0)$、$C(0,0,3)$ が作る平面と、点 $D(1,0,0)$ を通り $(1,1,1)$ に平行な直線の交点を求めます。

直線上の点は $(1+t,t,t)$。これを $\vec{a}$、$\vec{b}$、$\vec{c}$ で表します。

$\vec{a}=(3,0,0)$ だから、$x$ 成分から係数は $\frac{1+t}{3}$。同じように $\frac{t}{3}$、$\frac{t}{3}$ です。

和が $1$ になるから $\frac{1+3t}{3}=1$、つまり $3t=2$ で $t=\frac{2}{3}$。

交点は $\left(\frac{5}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right)$。3 つの座標を足すと $3$ になり、平面 $x+y+z=3$ の上にあることも確かめられます。

例：交点が三角形の内部にあるか

交点が求まったら、3 つの係数の符号を見ます。すべて正なら三角形の内部。

$\frac{1}{2}\vec{a}+\frac{1}{4}\vec{b}+\frac{1}{4}\vec{c}$ はすべて正のため内部にあります。

$\frac{3}{2}\vec{a}-\frac{1}{4}\vec{b}-\frac{1}{4}\vec{c}$ なら和は $1$ で平面上ですが、負の係数があるため三角形の外側に来る。

平面と交わることと、三角形の内部で交わることは別の話です。問題文がどちらを聞いているかを読みます。

例：t が消えてしまう場合

$\overrightarrow{OP}=\vec{a}+t(\vec{b}-\vec{c})$ を考えます。係数は $1$、$t$、$-t$。

和は $1+t-t=1$ で、$t$ が消えました。どの $t$ でも和が $1$ になります。

これは直線が平面に含まれている場合です。交点は 1 つに決まらず、直線まるごとが共有部分になる。

和が $t$ によらず $1$ 以外の値になるときは、平行で交わりません。$t$ が消えたら、この 2 通りを見分けます。

例：どの平面に対する条件か

四面体 $OABC$ で、直線 $\overrightarrow{OP}=t(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})$ を考えます。

平面 $ABC$ との交点は $3t=1$ から $t=\frac{1}{3}$。$\frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}$ です。

同じ直線は、平面 $OAB$ とは原点でしか出あいません。$\vec{c}$ の係数が $t$ のまま残るからです。

どの平面に対する条件かで、立てる式が変わる。係数の和を数える相手を、とり違えないようにします。

前者で解けるなら前者。基準になる 3 点が問題文にそろっているかを、最初に確かめます。

まちがえやすいところ

$\vec{b}$ と $\vec{c}$ に別々の係数が付いているとき、$t$ の個数を数えまちがえる形が多い。$t\vec{b}+2t\vec{c}$ なら和に $3t$ が入ります。

交点が平面上にあることと、三角形の内部にあることは別です。内部かどうかまで聞かれていたら、3 つの係数の符号を確かめます。

$t$ が消えたときは、交点がないのではありません。和が $1$ なら直線ごと平面に含まれ、$1$ 以外なら平行。どちらかを書き分けます。