正方形と正六角形の内積は「なす角が 30 度の倍数」で決まる

1 辺が $1$ の正六角形 $ABCDEF$ で、$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=\frac{3}{2}$ です。

$|\overrightarrow{AB}|=1$、$|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{3}$、なす角は $30^{\circ }$。定義に入れると $1\times \sqrt{3}\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{2}$ になります。

正六角形は 6 つの正三角形に分かれるので、辺と対角線の長さも、頂点どうしのなす角も、すべて $30$ 度きざみで決まる^[1]。この規則を先に押さえると、内積はどれも暗算で出せます。

長さと角を先に決める

1 辺 $1$ の正六角形では、中心から各頂点までの距離も $1$ です^[1]。中心と 1 辺でできる三角形が正三角形になるため。

対角線は 2 種類あります。1 つ飛ばしの $AC$ が $\sqrt{3}$、向かい合う $AD$ が $2$。

頂点 $A$ から見ると、$B$、$C$、$D$、$E$、$F$ の方向は $30$ 度ずつ開いていきます。$\angle BAC=30^{\circ }$、$\angle BAD=60^{\circ }$、$\angle BAE=90^{\circ }$、$\angle BAF=120^{\circ }$。

長さと角のこの表さえ作れば、あとは定義に入れるだけ。

例：AB と AC の内積

$|\overrightarrow{AB}|=1$、$|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{3}$、なす角 $30^{\circ }$ です。

$$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=1\times \sqrt{3}\times \cos 30^{\circ }=\sqrt{3}\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{2}$$

長さと角が分かっていれば、掛け算 2 回で終わります。

例：AB と AD の内積

$|\overrightarrow{AD}|=2$、なす角は $60^{\circ }$。$1\times 2\times \frac{1}{2}=1$ です。

$AD$ は最も長い対角線ですが、角も開くので内積はかえって小さくなる。長さだけでは大小が決まりません。

例：AB と AE の内積

なす角が $90^{\circ }$ なので、$\cos 90^{\circ }=0$。内積は $0$ です。

$\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AE}$ は垂直になります。正六角形の中に直角が隠れている。

例：AB と AF の内積

$|\overrightarrow{AF}|=1$、なす角 $120^{\circ }$ で $\cos 120^{\circ }=-\frac{1}{2}$。

$1\times 1\times \left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{2}$ です。角が鈍角になると内積は負になる。

例：始点がそろっていないとき

$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}$ を求めます。始点が $A$ と $B$ で違いますが、内積は向きと長さだけで決まる。

$\overrightarrow{BC}$ を $A$ に平行移動すると、$\overrightarrow{AB}$ から $60^{\circ }$ 開いた向きになります。正六角形の外角が $60^{\circ }$ だからです。

$1\times 1\times \frac{1}{2}=\frac{1}{2}$ になります。始点をそろえてから角を測る、という手順を挟みます。

例：向かい合う辺どうし

$\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{DE}$ は、向きがちょうど逆です。正六角形の向かい合う辺は平行で、向きが反対になる。

$\overrightarrow{DE}=-\overrightarrow{AB}$ なので、内積は $-|\overrightarrow{AB}{|}^2=-1$ です。

$\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{CD}$ なら、なす角は $120^{\circ }$ で $-\frac{1}{2}$ になります。

2 つの辺を基準にして表す

$\overrightarrow{AB}=\vec{p}$、$\overrightarrow{AF}=\vec{q}$ とおくと、$A$ から出る他のベクトルはすべて $\vec{p}$ と $\vec{q}$ で書けます。

$|\vec{p}|=|\vec{q}|=1$ で、なす角は $120^{\circ }$。よって $\vec{p}\cdot \vec{q}=-\frac{1}{2}$ です。

$\overrightarrow{AD}$ が $2(\vec{p}+\vec{q})$ と書けるのは、$\vec{p}+\vec{q}$ が中心へ向かうベクトルだからです。

例：基準ベクトルで内積を計算する

$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$ を $\vec{p}$ と $\vec{q}$ で計算します。$\overrightarrow{AC}=2\vec{p}+\vec{q}$ でした。

$$\vec{p}\cdot (2\vec{p}+\vec{q})=2|\vec{p}{|}^2+\vec{p}\cdot \vec{q}=2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$$

角を測って出した $\frac{3}{2}$ と一致します。長さと角から直接出す方法と、基準ベクトルに分解する方法の 2 通りが使える。

図が複雑になるほど、分解して展開するほうが確実になります。

正方形のとき

1 辺 $1$ の正方形 $ABCD$ では、対角線が $\sqrt{2}$ で、なす角は $45$ 度きざみです。

$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=1\times \sqrt{2}\times \frac{1}{\sqrt{2}}=1$。$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}=0$ で垂直です。

例：正方形の対角線どうしの内積

$\overrightarrow{AC}$ と $\overrightarrow{BD}$ の内積を求めます。$\overrightarrow{AB}=\vec{p}$、$\overrightarrow{AD}=\vec{q}$ とおく。

$\overrightarrow{AC}=\vec{p}+\vec{q}$、$\overrightarrow{BD}=\vec{q}-\vec{p}$ です。展開すると $|\vec{q}{|}^2-|\vec{p}{|}^2$ になります^[3]。

$|\vec{p}|=|\vec{q}|=1$ なので $0$ になります。正方形の対角線が直交することが、内積 1 つで示せる。

例：正三角形のとき

1 辺 $1$ の正三角形 $ABC$ では、$\angle BAC=60^{\circ }$ です。

$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=1\times 1\times \frac{1}{2}=\frac{1}{2}$ になります。

正六角形の $\vec{p}\cdot \vec{q}=-\frac{1}{2}$ と符号が逆なのは、正六角形の内角が $120^{\circ }$ で鈍角だからです。

2 通りの求め方

始点がそろっていて角がすぐ読めるなら前者、そうでなければ後者。図の複雑さで選びます。

よくある誤り

長さと角の表を先に作る。図形が決まった時点で、内積の値はもう決まっています。

参考文献

^[1] が正六角形の内角と対角線の長さ、^[2] が内積の定義となす角の関係、^[3] が展開の規則です。