ベクトルの終点の存在範囲、係数の和と符号で決まる動ける場所

$\overrightarrow{OP}=s\vec{a}+t\vec{b}$ で $s+t=1$、$s\ge 0$、$t\ge 0$ とすると、点 $P$ は線分 $AB$ の上だけを動きます。

条件を $s+t\le 1$ にゆるめると、$P$ は三角形 $OAB$ を塗りつぶす。$0\le s\le 1$ かつ $0\le t\le 1$ に替えれば、今度は平行四辺形になります。

係数の和と符号だけで、動ける範囲が決まります。図形は係数の条件から読みとれる。

係数の和が 1 なら直線の上

$\overrightarrow{OP}=s\vec{a}+t\vec{b}$ と置きます。$s+t=1$ をみたす点 $P$ は、直線 $AB$ の上にある。

$s=1-t$ を代入すると $\overrightarrow{OP}=(1-t)\vec{a}+t\vec{b}$ で、2 点 $A$、$B$ を通る直線のベクトル方程式そのものになります。

ここに $s\ge 0$ と $t\ge 0$ を加えると、動ける場所が線分 $AB$ に縮む。

例：和が 1 でも符号しだいで外へ出る

$s=\frac{2}{3}$、$t=\frac{1}{3}$ なら和は $1$ で、どちらも $0$ 以上。$P$ は線分 $AB$ を $1:2$ に内分する点です。

$s=-1$、$t=2$ でも和は $1$。ただし $s$ が負なので、$P$ は $B$ より外側に来ます。

和だけでは直線までしか決まりません。線分に絞るには符号の条件がいる。

和が 1 以下なら三角形

$s+t\le 1$、$s\ge 0$、$t\ge 0$ とすると、$P$ は三角形 $OAB$ の内部と周を動きます。

$s+t=k$ と置くと、$0\le k\le 1$ の範囲で $k$ を固定するごとに線分が 1 つできる。その線分を $k=0$ から $k=1$ まで積み重ねた形が三角形です。

$k=0$ では点 $O$ ただ 1 つ、$k=1$ では線分 $AB$。三角形を線分の束として見られます。

例：三角形の頂点にあたる係数

$(s,t)=(0,0)$ なら $\overrightarrow{OP}=\vec{0}$ で、$P$ は $O$ に重なる。

$(1,0)$ なら $P=A$、$(0,1)$ なら $P=B$ です。3 つの頂点が、係数の 3 通りの端に対応します。

$\left(\frac{1}{3},\frac{1}{3}\right)$ なら和は $\frac{2}{3}$ で $1$ より小さいから、$P$ は三角形の内部にある。

例：符号の条件を落とすとどうなるか

$s+t\le 1$ だけを課し、符号を自由にすると範囲は大きく変わります。

$s=5$、$t=-10$ でも和は $-5$ で条件をみたしますが、$P$ は三角形から遠く離れた場所に来る。

$s+t\le 1$ が言うのは、直線 $AB$ より $O$ 側にあるという 1 点です。三角形に閉じこめているのは $s\ge 0$ と $t\ge 0$ のほう。

0 以上 1 以下を 2 つ並べると平行四辺形

$0\le s\le 1$ かつ $0\le t\le 1$ とすると、$P$ は平行四辺形 $OACB$ の内部と周を動きます。ここで $C$ は $\overrightarrow{OC}=\vec{a}+\vec{b}$ をみたす点。

$s$ と $t$ に上限と下限が別々に付いているため、和には制限がかかりません。$s$ を固定して $t$ だけ動かすと線分が 1 つでき、その線分を $s$ の向きへ平行移動させた跡が平行四辺形になる。

例：平行四辺形の 4 つの角

$(s,t)$ が $(0,0)$、$(1,0)$、$(1,1)$、$(0,1)$ のとき、$P$ はそれぞれ $O$、$A$、$C$、$B$ に来ます。

$s=1$ に固定して $t$ を $0$ から $1$ へ動かせば、$P$ は $A$ から $C$ へ移る。この線分が辺 $AC$ です。

三角形のときと違い、$s$ と $t$ はたがいを縛りません。片方を決めても、もう片方は $0$ から $1$ まで自由に動けます。

和が 1 でないときは置きかえる

係数の和が $1$ でない条件は、和が $1$ になるように文字を置きかえます。

$s+2t=1$ なら $t^{\prime }=2t$ と置けば $s+t^{\prime }=1$。このとき $\overrightarrow{OP}=s\vec{a}+\frac{t^{\prime }}{2}\vec{b}$ となり、$\frac{1}{2}\vec{b}$ を新しい基準として読める。

例：s + 2t = 1 の存在範囲

$s\ge 0$、$t\ge 0$、$s+2t=1$ とします。$t^{\prime }=2t$ と置けば $s+t^{\prime }=1$ かつ $t^{\prime }\ge 0$。

$\overrightarrow{OP}=s\vec{a}+t^{\prime }\left(\frac{1}{2}\vec{b}\right)$ なので、端点は $A$ と $\frac{1}{2}\vec{b}$ の指す点 $M$ です。

$M$ は線分 $OB$ の中点。答えは線分 $AM$ になります。

例：2s + 3t = 1 の存在範囲

$s\ge 0$、$t\ge 0$、$2s+3t=1$ とする。$s^{\prime }=2s$、$t^{\prime }=3t$ と置くと $s^{\prime }+t^{\prime }=1$ になります。

$$\overrightarrow{OP}=s^{\prime }\left(\frac{1}{2}\vec{a}\right)+t^{\prime }\left(\frac{1}{3}\vec{b}\right)$$

端点は線分 $OA$ の中点と、線分 $OB$ を $1:2$ に内分する点。その 2 点を結ぶ線分が答えです。

係数の分母が、そのまま基準ベクトルを縮める割合になっている。

例：s + t = 2 の存在範囲

$s\ge 0$、$t\ge 0$、$s+t=2$ の場合。両辺を $2$ で割って $\frac{s}{2}+\frac{t}{2}=1$ とします。

$s^{\prime }=\frac{s}{2}$、$t^{\prime }=\frac{t}{2}$ と置くと $\overrightarrow{OP}=s^{\prime }(2\vec{a})+t^{\prime }(2\vec{b})$。

端点は $\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{OB}$ をそれぞれ $2$ 倍に伸ばした点です。和が $1$ より大きいと外へ、小さいと内へ寄る。

和が範囲で与えられたとき

$1\le s+t\le 2$、$s\ge 0$、$t\ge 0$ のように和が幅を持つ場合、範囲は帯になります。

$s+t=k$ を $k=1$ から $k=2$ まで動かすと、線分が平行に並んでいきます。内側の境界が線分 $AB$、外側の境界が $2\vec{a}$ と $2\vec{b}$ の端点を結ぶ線分。

大きいほうの三角形から、小さいほうの三角形の内部を抜いた形になります。

例：帯の内と外を確かめる

$(s,t)=\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$ なら和は $1$ で、$P$ は線分 $AB$ の中点。帯の内側の境界に乗ります。

$(1,1)$ なら和は $2$ で外側の境界、$\left(\frac{1}{4},\frac{1}{4}\right)$ なら和は $\frac{1}{2}$ なので帯には入りません。

境界を含むかどうかは不等号で決まる。$\le$ なら境界を含み、$<$ なら含まないので、答えの図に実線と破線を書き分けます。

例：係数を面積比として読む

$s+t\le 1$、$s\ge 0$、$t\ge 0$ のとき、$O$ にあたる係数を $u=1-s-t$ と置くと $u+s+t=1$ になります。

このとき $s$、$t$、$u$ は三角形を 3 つに切った面積の比を表す。$△POB$ が $s$、$△POA$ が $t$、$△PAB$ が $u$ にあたります。

$s=\frac{1}{2}$、$t=\frac{1}{3}$ なら $u=\frac{1}{6}$ で、3 つの面積の比は $3:2:1$。

係数を見るだけで、点が三角形のどのあたりにあるかが決まります。$O$ に近いほど $u$ が大きくなる。

まちがえやすいところ

$s+t\le 1$ だけで三角形になると読むのが、いちばん多いとり違えです。符号の条件がなければ、点は平面のどこへでも行けます。

和が $1$ でない条件を、そのまま線分の式として使う形も目につきます。$s+2t=1$ は線分 $AB$ ではなく、端点が $\frac{1}{2}\vec{b}$ 側へ寄った別の線分。

和が「どの線分に乗るか」を決め、符号が「どこまで行けるか」を決めます。この 2 つを分けて読めば、範囲は係数から決まる。