長さの最小値はどこで決まるのか？ベクトルを 2 乗して 2 次関数にする

$\vec{a}=(3,1)$、$\vec{b}=(1,2)$ のとき、$|\vec{a}+t\vec{b}|$ の最小値は $\sqrt{5}$ です。$t=-1$ のときに実現します。

大きさのままでは $t$ を動かせません。2 乗すると $5t^2+10t+10$ という $t$ の 2 次関数になり、平方完成で最小値が出る^[1,2]。

最小になる位置には意味があります。そのとき $\vec{a}+t\vec{b}$ は $\vec{b}$ と垂直になる^[3]。原点から直線までの距離を測っているのと同じことです。

2 乗して 2 次関数にする

$|\vec{a}+t\vec{b}|$ をそのまま扱うことはできません。まず 2 乗して内積に直します^[5]。

$$|\vec{a}+t\vec{b}{|}^2=|\vec{b}{|}^2{t}^2+2(\vec{a}\cdot \vec{b})t+|\vec{a}{|}^2$$

$t$ について 2 次式です。$t^2$ の係数 $|\vec{b}{|}^2$ は正なので、下に凸の放物線になる。

放物線の頂点が最小値。平方完成すれば、最小値と、そこでの $t$ の両方が同時に出ます。

例：成分で最小値を出す

$\vec{a}=(3,1)$、$\vec{b}=(1,2)$ とします。$\vec{a}+t\vec{b}=(3+t,1+2t)$ です。

$$\begin{array}{rl}|\vec{a}+t\vec{b}{|}^2& =(3+t{)}^2+(1+2t{)}^2\\ & =9+6t+t^2+1+4t+4t^2\\ & =5t^2+10t+10\end{array}$$

平方完成すると $5(t+1{)}^2+5$。$t=-1$ で最小値 $5$ をとります。

大きさに戻すと $\sqrt{5}$ です。2 乗した値のまま答えないところに気をつけます。

例：大きさと内積が与えられたとき

成分がなくても同じ手順が使えます。$|\vec{a}|=2$、$|\vec{b}|=1$、$\vec{a}\cdot \vec{b}=1$ とします。

$|\vec{a}+t\vec{b}{|}^2=t^2+2t+4$。平方完成して $(t+1{)}^2+3$ です。

$t=-1$ で最小値 $3$、大きさは $\sqrt{3}$ になります。成分に落とさなくても計算は進む。

例：なす角が与えられたとき

$|\vec{a}|=3$、$|\vec{b}|=2$ で、なす角が $60^{\circ }$ とします。まず内積を出す。

$\vec{a}\cdot \vec{b}=3\times 2\times \frac{1}{2}=3$ です。$|\vec{a}+t\vec{b}{|}^2=4t^2+6t+9$。

平方完成すると $4{\left(t+\frac{3}{4}\right)}^2+\frac{27}{4}$。最小値は $\sqrt{\frac{27}{4}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$ です。

角度が与えられたら、まず内積という実数に直す。そこから先は同じ作業になります。

最小のとき垂直になる

一般の形で平方完成します。$t$ の係数を $|\vec{b}{|}^2$ でくくる。

$$t=-\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{b}{|}^2}$$

このとき $\vec{a}+t\vec{b}$ と $\vec{b}$ の内積を計算すると $\vec{a}\cdot \vec{b}+t|\vec{b}{|}^2=0$。垂直になります^[3]。

最短距離は垂線の長さ、という図形の事実が、平方完成の結果として出てきました。

例：垂直条件から t を出す

$\vec{a}=(3,1)$、$\vec{b}=(1,2)$ で確かめます。$\vec{a}\cdot \vec{b}=3+2=5$、$|\vec{b}{|}^2=1+4=5$。

$t=-\frac{5}{5}=-1$ です。平方完成で出した値と一致します。

このとき $\vec{a}-\vec{b}=(2,-1)$ で、$\vec{b}$ との内積は $2-2=0$。たしかに垂直になっている。

平方完成をしなくても $t$ だけは先に出せます。検算に使えます。

例：点と直線の距離として読む

$\vec{a}+t\vec{b}$ の先端は、点 $A(3,1)$ を通り $\vec{b}=(1,2)$ に平行な直線をなぞります。

$|\vec{a}+t\vec{b}|$ はその点と原点の距離。最小値は、原点からこの直線までの距離になります。

直線の方程式は $2x-y-5=0$。距離の公式に原点を入れると $\frac{|-5|}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}$ です。

平方完成で出した $\sqrt{5}$ と一致します。同じ量を 2 通りの道具で測っている。

例：t に範囲が付くとき

$0\le t\le 1$ という条件を付けます。放物線の頂点は $t=-1$ で、範囲の外にある。

範囲の中では放物線が単調に増えるので、最小は左端の $t=0$ です。$|\vec{a}{|}^2=10$ なので $\sqrt{10}$。

頂点が範囲に入っているかを先に確かめます。入っていなければ端点、入っていれば頂点。

例：最大値は存在しない

$t$ が実数全体を動くとき、$|\vec{a}+t\vec{b}|$ に最大値はありません。$t$ を大きくすれば、いくらでも長くなる。

$0\le t\le 1$ のような範囲が付いたときだけ、最大値が端点に現れます。この例では $t=1$ で $\sqrt{25}=5$。

最小値は必ずありますが、最大値はあるとは限らない。放物線が下に凸だからです。

例：t が付く相手を入れかえる

$|t\vec{a}+\vec{b}|$ の形でも、手順は変わりません。$t^2$ の係数が $|\vec{a}{|}^2$ になるだけ。

$$|t\vec{a}+\vec{b}{|}^2=|\vec{a}{|}^2{t}^2+2(\vec{a}\cdot \vec{b})t+|\vec{b}{|}^2$$

$\vec{a}=(3,1)$、$\vec{b}=(1,2)$ なら $10t^2+10t+5$。平方完成して $10{\left(t+\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{5}{2}$ です。

最小値は $\sqrt{\frac{5}{2}}=\frac{\sqrt{10}}{2}$。$t$ が掛かっているほうが $t^2$ の係数になる、と押さえます。

例：最小値が 0 以上になる理由

平方完成の結果、最小値の 2 乗は $|\vec{a}{|}^2-\frac{(\vec{a}\cdot \vec{b}{)}^2}{|\vec{b}{|}^2}$ です。

これが $0$ 以上であることは、$(\vec{a}\cdot \vec{b}{)}^2\le |\vec{a}{|}^2|\vec{b}{|}^2$ と同じ意味になります^[4]。

内積の絶対値は、大きさの積を超えない。$\cos \theta$ が $-1$ から $1$ までしか動かないことの言いかえです。

$0$ になるのは $\vec{a}$ と $\vec{b}$ が平行なとき。そのとき直線が原点を通ります。

2 通りの出し方

範囲が付いていなければどちらでも同じ。範囲が付いたら、頂点の位置を知るために平方完成の形まで持っていきます。

よくある誤り

大きさを 2 乗して 2 次関数にする。ベクトルの最小値の問題は、この 1 手でほとんど片づきます。

参考文献

^[1] と ^[2] が内積による 2 乗の展開、^[3] が最小をとる位置で垂直になること、^[4] が内積の絶対値が大きさの積を超えない不等式、^[5] が双線形性の整理です。