ベクトルの影の長さが内積の正体｜高校数学の正射影ベクトル

$\vec{a}=(3,4)$ の向きに $\vec{b}=(5,2)$ を落とすと、影は $\frac{23}{25}\vec{a}$ になります。

$\vec{a}\cdot \vec{b}=23$ を $|\vec{a}{|}^2=25$ で割った値が、$\vec{a}$ の何倍かを表す。この影を正射影ベクトルといいます^[1]。

内積は、この影の長さに $|\vec{a}|$ を掛けた値です。$|\vec{a}|=5$ で影の長さが $\frac{23}{5}$ なので、掛け戻すと $23$ になる。内積の図形的な意味がここにあります。

影の長さは内積を割ったもの

$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角を $\theta$ とします。$\vec{b}$ を $\vec{a}$ の向きへ落とした影の長さは $|\vec{b}|\cos \theta$ です。

内積の定義 $\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta$ を見ると、この影の長さが右辺に入っています。

$$|\vec{b}|\cos \theta =\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}|}$$

これを符号付きの長さと呼びます。$\theta$ が鈍角なら $\cos \theta$ が負になり、影は $\vec{a}$ と逆を向く。

内積は「$|\vec{a}|$ と影の長さの積」。この読み方ができると、内積が図の中で見えるようになります^[3]。

正射影ベクトルの式

影の長さに、$\vec{a}$ の向きの単位ベクトル $\vec{e}=\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$ を掛けるとベクトルになります^[1,2]。

$$\left(\vec{b}\cdot \vec{e}\right)\vec{e}=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}{|}^2}\vec{a}$$

分母が $|\vec{a}|$ ではなく $|\vec{a}{|}^2$ になるところが要点。単位ベクトルを 2 回使うので、$|\vec{a}|$ で 2 回割ることになります。

$\vec{a}$ の定数倍なので、向きは $\vec{a}$ と同じか正反対。係数 $\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}{|}^2}$ の符号がそれを決めます。

例：成分で計算する

$\vec{a}=(3,4)$、$\vec{b}=(5,2)$ とします。$\vec{a}\cdot \vec{b}=15+8=23$、$|\vec{a}{|}^2=9+16=25$ です。

正射影ベクトルは $\frac{23}{25}(3,4)=\left(\frac{69}{25},\frac{92}{25}\right)$。

影の長さは $\frac{23}{|\vec{a}|}=\frac{23}{5}$ になります。$|\vec{a}|=5$ で割る点と、ベクトルでは $25$ で割る点を分けて覚えます。

例：垂直な成分をとり出す

$\vec{b}$ から正射影ベクトルを引くと、$\vec{a}$ に垂直な成分が残ります。

$(5,2)-\left(\frac{69}{25},\frac{92}{25}\right)=\left(\frac{56}{25},-\frac{42}{25}\right)$ です。

$\vec{a}$ との内積を計算すると $\frac{168-168}{25}=0$。たしかに垂直になっている。

長さは $\frac{1}{25}\sqrt{56^2+42^2}=\frac{70}{25}=\frac{14}{5}$ です。${\left(\frac{23}{5}\right)}^2+{\left(\frac{14}{5}\right)}^2=29=|\vec{b}{|}^2$ で、三平方の定理も成り立ちます。

例：なす角が鈍角のとき

$\vec{a}=(3,4)$、$\vec{c}=(-4,1)$ とします。$\vec{a}\cdot \vec{c}=-12+4=-8$ です。

正射影ベクトルは $-\frac{8}{25}(3,4)$。係数が負なので、影は $\vec{a}$ と逆向きになります。

影の長さを問われたら $\left|-\frac{8}{5}\right|=\frac{8}{5}$ と絶対値をとる。符号付きの値のままか、長さとしての値かを、問題文で確かめます。

例：単位ベクトルを使う書き方

$\vec{a}=(3,4)$ の単位ベクトルは $\vec{e}=\left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right)$ です。

$\vec{b}\cdot \vec{e}=\frac{15+8}{5}=\frac{23}{5}$。これが影の長さになります。

正射影ベクトルは $\frac{23}{5}\vec{e}=\frac{23}{5}\left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right)=\left(\frac{69}{25},\frac{92}{25}\right)$。さきほどと同じ結果です。

先に単位ベクトルを作っておくと、同じ向きへ何度も落とす問題で計算が短くなる。

例：垂線の足を求める

$A(1,1)$、$B(5,3)$ を通る直線に、点 $P(2,6)$ から垂線を下ろします。

$\overrightarrow{AB}=(4,2)$、$\overrightarrow{AP}=(1,5)$ です。内積は $4+10=14$、$|\overrightarrow{AB}{|}^2=20$。

正射影ベクトルは $\frac{14}{20}(4,2)=\left(\frac{14}{5},\frac{7}{5}\right)$。これを $A$ に足すと垂線の足になります。

$$H=\left(1+\frac{14}{5},1+\frac{7}{5}\right)=\left(\frac{19}{5},\frac{12}{5}\right)$$

検算に $\overrightarrow{PH}=\left(\frac{9}{5},-\frac{18}{5}\right)$ と $\overrightarrow{AB}$ の内積をとると $\frac{36-36}{5}=0$ で、垂直になっています。

三角形の辺を射影する

三角形の 1 辺は、残りの 2 辺をその辺へ落とした影の和になります^[4]。

$$c=a\cos \beta +b\cos \alpha$$

射影定理と呼ばれる関係です。頂点から向かい合う辺へ垂線を下ろすと、辺が 2 つに分かれる。その 2 つがそれぞれの影にあたります。

例：射影定理を数で確かめる

$a=7$、$b=5$、$c=6$ の三角形を考えます。余弦定理から $\cos \beta =\frac{49+36-25}{2\times 7\times 6}=\frac{60}{84}=\frac{5}{7}$。

同じく $\cos \alpha =\frac{25+36-49}{2\times 5\times 6}=\frac{12}{60}=\frac{1}{5}$ です。

$a\cos \beta +b\cos \alpha =7\times \frac{5}{7}+5\times \frac{1}{5}=5+1=6$。たしかに $c$ に一致します。

例：内積を影として読む

$|\vec{a}|=6$ で、$\vec{b}$ の影の長さが $4$ だとします。内積は $6\times 4=24$ です。

$|\vec{b}|$ もなす角も分かりませんが、影の長さだけで内積が決まる。逆に内積と $|\vec{a}|$ が分かれば影の長さが出ます。

物理で仕事を $\vec{F}\cdot \vec{s}$ と書くのも同じ理由です。動いた向きに沿う力の成分だけが効く、という意味になる。

影を測るか、成分で計算するか

角度が与えられていれば前者、座標が与えられていれば後者。どちらも同じ値にたどり着きます。

よくある誤り

内積を「大きさ × 影の長さ」と読み替える。この 1 つの見方が、垂線の足にも射影定理にもつながっています。

参考文献

^[1] が正射影ベクトルと符号付きの長さの式、^[2] が単位ベクトルを使う書き方、^[3] が内積の図形的な意味、^[4] が射影定理です。