2 つのベクトルに垂直なベクトルはどう求めるのか？空間での連立

$a = (2, 1, 2)$ と $b = (1, 2, - 2)$ の両方に垂直な単位ベクトルは $\pm \frac{1}{3} (- 2, 2, 1)$ です。

求め方は連立 1 回。 $n = (x, y, z)$ と置いて $a \cdot n = 0$ と $b \cdot n = 0$ を立て、最後に大きさを $1$ にそろえます。

答えが 2 つ現れるところが特徴です。向きが反対の 2 本が、どちらも条件をみたす。

垂直の条件を 2 つ立てる

求めるベクトルを $n = (x, y, z)$ と置きます。未知数は 3 つ。

垂直の条件は内積が $0$ になることでした。相手が 2 本あるため、式も 2 つ立ちます。

$a \cdot n = 0, b \cdot n = 0$

未知数 3 つに式 2 つだから、答えは 1 つに決まりません。1 文字ぶんの自由が残り、1 本の直線に沿うベクトル全体が解になる。

そこへ「大きさが $1$ 」という条件を足すと、向きが反対の 2 本にしぼられます。

例：連立して向きを求める

$a = (2, 1, 2)$ 、 $b = (1, 2, - 2)$ とします。条件を成分で書く。

$2 x + y + 2 z x + 2 y - 2 z = 0 = 0$

2 式を足すと $3 x + 3 y = 0$ で $y = - x$ 。これを上の式に入れると $2 x - x + 2 z = 0$ 、つまり $x = - 2 z$ です。

$z = 1$ と置くと $x = - 2$ 、 $y = 2$ 。 $n = (- 2, 2, 1)$ が 1 つの答え。

$z$ に何を入れても、現れるのは $(- 2, 2, 1)$ の実数倍。向きはこれ 1 通りです。

未知数 3 つで置いて、内積が 0 の式を 2 つ立てる

1 文字を残して他を表し、小さな整数の組をとる

大きさで割って 1 にそろえる

例：大きさを 1 にそろえる

$n = (- 2, 2, 1)$ の大きさは $4 + 4 + 1 = 3$ 。

$3$ で割ると $(- \frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{3})$ になります。これが単位ベクトル。

検算すると $\frac{4}{9} + \frac{4}{9} + \frac{1}{9} = 1$ 。 $a$ との内積も $- \frac{4}{3} + \frac{2}{3} + \frac{2}{3} = 0$ で合いました。

例：答えは 2 つある

$- n = (2, - 2, - 1)$ も、両方に垂直で大きさが $3$ です。

単位ベクトルは $\pm \frac{1}{3} (- 2, 2, 1)$ の 2 つ。答案では複号を付けて両方を書きます。

向きを 1 つに決めたいなら、追加の条件がいります。「 $z$ 成分が正のもの」のような指定です。

例：大きさが整数にならないとき

$a = (1, 1, 0)$ 、 $b = (0, 1, 1)$ で試す。条件は $x + y = 0$ と $y + z = 0$ です。

$y = - x$ 、 $z = - y = x$ だから $n = (1, - 1, 1)$ の実数倍。

大きさは $3$ で、単位ベクトルは $\pm \frac{1}{3} (1, - 1, 1)$ です。有理化すると $\pm (\frac{3}{3}, - \frac{3}{3}, \frac{3}{3})$ 。

大きさが整数にならなくても手順は変わりません。根号が現れるぶん、書き方だけそろえる。

例：三角形の面に垂直なベクトル

$O (0, 0, 0)$ 、 $B (2, 1, 2)$ 、 $C (1, 2, - 2)$ の 3 点を通る面に垂直なベクトルを求めます。

$O B$ と $O C$ は、さきほどの $a$ 、 $b$ そのもの。答えは $\pm \frac{1}{3} (- 2, 2, 1)$ です。

3 点が与えられたら、まず 2 本のベクトルを作る。そこから先は同じ連立になります。

面に垂直なので、この $n$ は $B C$ とも垂直です。実際 $B C = (- 1, 1, - 4)$ で、内積は $2 + 2 - 4 = 0$ 。

例：平行な 2 本だと決まらない

$a = (1, 2, 3)$ 、 $b = (2, 4, 6)$ とします。 $b = 2 a$ なので平行になります。

条件を書くと $x + 2 y + 3 z = 0$ と $2 x + 4 y + 6 z = 0$ 。2 つ目は 1 つ目の $2$ 倍で、新しい情報を持ちません。

式が実質 1 つのため、答えは平面いっぱいに広がります。垂直な単位ベクトルは無数にある。

$a$ と $b$ が平行でないことが、向きが 1 通りに決まる条件になります。

例：どちらの向きかを指定されたとき

$\pm \frac{1}{3} (- 2, 2, 1)$ のうち、 $x$ 成分が正のものを選ぶとする。

$- \frac{2}{3}$ と $\frac{2}{3}$ だから、後者の $\frac{1}{3} (2, - 2, - 1)$ が答えです。

成分の符号や、別のベクトルとの内積の符号で指定されることがあります。条件を読んでから複号を落とす。

内積で確かめる

$a$ と $b$ の両方との内積が $0$ になるかを見る

大きさで確かめる

成分の 2 乗の和が $1$ になるかを見る

$a = (1, 0, 1)$ と $b = (0, 1, 1)$ の両方に垂直なベクトルはどれですか。

$(1, 1, 1)$
$(1, 1, - 1)$
$(1, - 1, 0)$

__RESULT__

$x + z = 0$ と $y + z = 0$ から $x = y = - z$ です。 $z = - 1$ と置けば $(1, 1, - 1)$ 。 $(1, 1, 1)$ は $a$ との内積が $2$ になるため、垂直ではありません。

まちがえやすいところ

答えを 1 つだけ書いて終える形が、いちばん多いとり違えです。大きさを $1$ にそろえた時点で向きが 2 つ残るため、複号を付けます。

大きさで割る前に、成分を小さな整数の組に直しておくと計算が短くなる。 $z = 1$ のように、いちばん扱いやすい値を選びます。

平行な 2 本を相手にすると、条件が実質 1 つになって向きが決まりません。連立する前に、2 本が平行でないことを見ておきます。

内積が $0$ の式を 2 つ立てて、1 文字を残して解く。3 点が与えられた問題も、2 本のベクトルを作ればここへ戻ります。

$\vec{a}=(2,\ 1,\ 2)$ と $\vec{b}=(1,\ 2,\ -2)$ の両方に垂直な単位ベクトルは $\pm\dfrac{1}{3}(-2,\ 2,\ 1)$ です。$\vec{n}=(x,\ y,\ z)$ と置いて内積が $0$ の式を 2 つ立てるところから始まります。未知数 3 つに式 2 つなので 1 文字ぶんの自由が残り、そこへ「大きさが $1$」を足すと向きが反対の 2 本にしぼられる。答えが 2 つ現れるところが特徴で、答案では複号を付けて書きます。3 点が与えられたときは、まず 2 本のベクトルを作れば同じ連立に戻る。平行な 2 本だと決まらない理由まで。