法線ベクトルを使って点と直線の距離の公式を導く

直線 $3 x + 4 y - 10 = 0$ の係数を並べた $(3, 4)$ は、この直線に垂直なベクトルです。 $x$ と $y$ の係数が、そのまま直線を横切る向きを指している。

この向きを法線ベクトルといいます。方向ベクトルが直線に沿う矢印なら、法線ベクトルは直線を突き抜ける矢印。

法線ベクトルを使うと、直線の方程式も 2 直線のなす角も、点と直線の距離も内積 1 つで書けます。

法線ベクトルで直線を表す

直線上の 1 点 $A$ の位置ベクトルを $a$ 、直線に垂直なベクトルを $n$ とします。この $n$ が法線ベクトルです。

直線上の点 $P$ をとると、 $A P$ は直線に沿う向き。 $n$ と垂直だから、内積が $0$ になります。

$n \cdot (p - a) = 0$

逆に、この式をみたす $P$ はかならず直線上にある。 $A P$ に $n$ と垂直な向きしか許されないためです。

$n \cdot p = n \cdot a$ と書き替えることもできます。右辺は定数なので、左辺が一定の値をとる点の集まりが直線になります。

成分にすると x と y の式になる

$n = (a, b)$ 、 $A (x_{1}, y_{1})$ 、 $P (x, y)$ と置いて成分で書きます。

$a (x - x_{1}) + b (y - y_{1}) = 0$

展開して $a x + b y - (a x_{1} + b y_{1}) = 0$ 。定数部分をまとめて $c = - (a x_{1} + b y_{1})$ と置けば、次の形になる。

$a x + b y + c = 0$

$x$ と $y$ の係数が、そのまま法線ベクトルの成分になっています。逆に $a x + b y + c = 0$ を見たら、 $(a, b)$ が法線ベクトルだと読める。

例：点と法線ベクトルから直線を求める

点 $A (2, 1)$ を通り、 $n = (3, 4)$ に垂直な直線を求めます。

$3 (x - 2) + 4 (y - 1) = 0$ を展開すると $3 x - 6 + 4 y - 4 = 0$ 。整理して $3 x + 4 y - 10 = 0$ です。

検算に $A$ を代入すると $6 + 4 - 10 = 0$ 。係数の $(3, 4)$ が $n$ と一致していることも確かめられます。

例：方向ベクトルと法線ベクトルの行き来

方向ベクトル $(p, q)$ に垂直なベクトルは $(- q, p)$ です。内積が $- pq + q p = 0$ になる。

$(q, - p)$ でも同じです。成分を入れかえて、どちらか一方の符号を変える。

方向ベクトルが $(4, - 3)$ なら法線ベクトルは $(3, 4)$ 。 $3 \times 4 + 4 \times (- 3) = 0$ で確かめられます。

例：2 点を通る直線を法線ベクトルで求める

$A (1, 2)$ 、 $B (4, 6)$ を通る直線を求める。

$A B = (3, 4)$ が方向ベクトルなので、法線ベクトルは $(4, - 3)$ です。

$4 (x - 1) - 3 (y - 2) = 0$ を整理して $4 x - 3 y + 2 = 0$ 。 $B$ を代入すると $16 - 18 + 2 = 0$ で合いました。

2 直線の平行と垂直

2 直線 $a_{1} x + b_{1} y + c_{1} = 0$ 、 $a_{2} x + b_{2} y + c_{2} = 0$ の法線ベクトルを $n_{1} = (a_{1}, b_{1})$ 、 $n_{2} = (a_{2}, b_{2})$ とします。

直線が平行なら法線も平行、直線が垂直なら法線も垂直。直線どうしの関係が、そのまま法線どうしの関係へ移ります。

平行の条件は

a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} = 0

です。

垂直の条件は

a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} = 0

です。

平行のほうは $n_{2}$ が $n_{1}$ の定数倍になる条件、垂直のほうは内積が $0$ になる条件を成分で書いたもの。

例：平行か垂直かを調べる

$ℓ_{1} : 2 x - 3 y + 1 = 0$ 、 $ℓ_{2} : 4 x - 6 y - 5 = 0$ 、 $ℓ_{3} : 3 x + 2 y - 7 = 0$ の関係を見ます。

$n_{1} = (2, - 3)$ 、 $n_{2} = (4, - 6)$ で $n_{2} = 2 n_{1}$ だから、 $ℓ_{1}$ と $ℓ_{2}$ は平行。

$n_{3} = (3, 2)$ との内積は $2 \times 3 + (- 3) \times 2 = 0$ なので、 $ℓ_{1}$ と $ℓ_{3}$ は垂直になります。

$c$ の値は関係しません。平行と垂直を決めているのは $x$ と $y$ の係数のほうです。

2 直線のなす角

2 直線のなす角は、法線どうしのなす角と等しくなります。どちらも同じだけ回った向きだからです。

なす角は $0^{\circ}$ 以上 $9 0^{\circ}$ 以下でとるため、内積に絶対値を付けます。

$cos θ = \frac{∣ n _{1} \cdot n _{2} ∣}{∣ n _{1} ∣ ∣ n _{2} ∣}$

絶対値を外すと $9 0^{\circ}$ より大きい角が現れることがある。そのときは $18 0^{\circ}$ から引くのと同じことになります。

例：45 度をなす 2 直線

$ℓ_{1} : x + y - 2 = 0$ 、 $ℓ_{2} : y = 0$ とします。 $n_{1} = (1, 1)$ 、 $n_{2} = (0, 1)$ 。

内積は $1 \times 0 + 1 \times 1 = 1$ 、大きさは $2$ と $1$ です。

$cos θ = \frac{1}{2}$

よって $θ = 4 5^{\circ}$ になります。 $ℓ_{2}$ は $x$ 軸そのものなので、図でも確かめられる。

例：60 度をなす 2 直線

$ℓ_{1} : y = 0$ 、 $ℓ_{2} : 3 x - y + 1 = 0$ とする。 $n_{1} = (0, 1)$ 、 $n_{2} = (3, - 1)$ です。

内積は $- 1$ で、絶対値をとると $1$ 。 $∣ n_{2} ∣ = 3 + 1 = 2$ になります。

$cos θ = \frac{1}{2}$ から $θ = 6 0^{\circ}$ 。絶対値を付けずに計算すると $cos θ = - \frac{1}{2}$ となって $12 0^{\circ}$ が現れますが、なす角としては $6 0^{\circ}$ をとります。

点と直線の距離

点 $P$ から直線までの距離は、直線上の点 $A$ をとって $A P$ を法線の向きへ射影した長さです。

$d = \frac{∣ n \cdot A P ∣}{∣ n ∣}$

$n = (a, b)$ 、 $A (x_{1}, y_{1})$ 、 $P (x_{0}, y_{0})$ を入れると、分子は $∣ a (x_{0} - x_{1}) + b (y_{0} - y_{1}) ∣$ になります。

$A$ は直線上にあるので $a x_{1} + b y_{1} + c = 0$ 、つまり $- a x_{1} - b y_{1} = c$ 。これを使うと分子が $∣ a x_{0} + b y_{0} + c ∣$ に変わります。

$d = \frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + c ∣}{a ^{2} + b ^{2}}$

例：点と直線の距離を計算する

原点から直線 $3 x + 4 y - 10 = 0$ までの距離を求めます。

分子は $∣0 + 0 - 10∣ = 10$ 、分母は $9 + 16 = 5$ 。距離は $2$ になりました。

点 $(4, 4)$ なら分子が $∣12 + 16 - 10∣ = 18$ で、距離は $\frac{18}{5} = 3.6$ 。分子の符号は、点が直線のどちら側にあるかを表しています。

例：平行な 2 直線の距離

$3 x + 4 y - 10 = 0$ と $3 x + 4 y + 5 = 0$ の距離を求める。法線ベクトルが同じ $(3, 4)$ なので平行になります。

片方の直線上の点をとります。 $A (2, 1)$ は 1 つ目の直線上にある。

$A$ からもう 1 つの直線までの距離は $\frac{∣6 + 4 + 5∣}{5} = \frac{15}{5} = 3$ です。

平行な 2 直線の距離は、片方の上のどの点をとっても同じ値になります。計算しやすい点を選べばよい。

点 $(1, - 2)$ と直線 $4 x - 3 y + 1 = 0$ の距離はどれですか。

$\frac{3}{5}$
$\frac{11}{5}$
$\frac{1}{5}$

__RESULT__

分子は $∣4 \times 1 - 3 \times (- 2) + 1∣ = ∣4 + 6 + 1∣ = 11$ 、分母は $16 + 9 = 5$ です。 $- 3 \times (- 2)$ を $- 6$ と計算すると $\frac{1}{5}$ になるので、符号のとり方に気をつけます。

まちがえやすいところ

$a x + b y + c = 0$ の $(a, b)$ を方向ベクトルだと読む形が、いちばん多いとり違えです。これは直線に垂直な向きのほう。

なす角では、内積に絶対値を付けます。付け忘れると $12 0^{\circ}$ のような鈍角が答えに残ってしまう。

距離の公式では、分母の $a^{2} + b^{2}$ を忘れる形も目につきます。分子だけでは、法線ベクトルの長さで値が変わってしまいます。

係数を並べると法線ベクトルになる。ここから、直線の式も、なす角も、距離も同じ内積 1 つでたどれます。

直線 $3x+4y-10=0$ の係数を並べた $(3,\ 4)$ は、その直線に垂直です。$x$ と $y$ の係数が、そのまま法線ベクトルになっている。$\vec{n}\cdot(\vec{p}-\vec{a})=0$ を成分で書くと $ax+by+c=0$ に戻ります。方向ベクトル $(p,\ q)$ と法線ベクトル $(-q,\ p)$ は、成分を入れかえて片方の符号を変えるだけの関係。2 直線のなす角は法線どうしのなす角と等しく、内積に絶対値を付けて $\cos\theta$ を求めます。距離の公式も、$\overrightarrow{AP}$ を法線の向きへ射影した長さとして導ける。$45$ 度と $60$ 度の例、平行な 2 直線の距離まで。