添字をそろえてから代入する、微分方程式のべき級数解法と計算演習

$y^{''} = n = 2 \sum \infty n (n - 1) a_{n} x^{n - 2}$ をそのまま $y$ に足しても、 $x$ のべきがそろいません。

$n$ を 2 つずらして書き直します。

$y^{''} = n = 0 \sum \infty (n + 2) (n + 1) a_{n + 2} x^{n}$

これで $x^{n}$ の係数を比べられる形になりました。べき級数解法の計算は、この付け替えができるかどうかでほぼ決まります^[1]。

添字をずらす操作

一般の形で書いておきます。 $n = k \sum \infty c_{n} x^{n - j}$ で $m = n - j$ と置く。

$n = k \sum \infty c_{n} x^{n - j} = m = k - j \sum \infty c_{m + j} x^{m}$

添字の下端も同じだけずれます。ここを動かし忘れると、 $n$ の小さいところで 1 項ぶんずれる。

ずらしたあとは文字を $n$ に書き戻して構いません。和の記号の中の文字は、外に影響しないためです。

そろえた形の一覧

代入の前に、よく出る項を $x^{n}$ の形にそろえておきます。

もとの形	そろえた形	下端
$y$	$\sum a_{n} x^{n}$	$n = 0$
$y^{'}$	$\sum (n + 1) a_{n + 1} x^{n}$	$n = 0$
$y^{''}$	$\sum (n + 2) (n + 1) a_{n + 2} x^{n}$	$n = 0$
$x y^{'}$	$\sum n a_{n} x^{n}$	$n = 0$
$x^{2} y^{''}$	$\sum n (n - 1) a_{n} x^{n}$	$n = 0$
$x y$	$\sum a_{n - 1} x^{n}$	$n = 1$

注意したいのは $x y^{'}$ と $x^{2} y^{''}$ です。 $x$ のべきと微分の階数が同じなら、添字は動きません。

$x$ を掛けたぶんと微分で下がったぶんが、ちょうど打ち消し合うためです。オイラー型の方程式が扱いやすいのも同じ理由になります。

一方 $x y$ は、 $x$ を掛けただけなので添字が 1 つ上がります。下端が $n = 1$ になるので、 $n = 0$ の項を別に書き出す必要が出てくる。

下端がそろわない項があるときは、いちばん大きい下端に合わせて残りを外に出すのが定石です。

$n = 0$ の式だけを別に書き、 $n \geq 1$ で漸化式を立てる。 $a_{2} = 0$ のような単独の条件はここから出る。

問 1： $y^{'} - 2 x y = 0$

代入して、両方の項を $x^{n}$ にそろえます。

$n = 0 \sum \infty (n + 1) a_{n + 1} x^{n} - 2 n = 1 \sum \infty a_{n - 1} x^{n} = 0$

下端が違うので、 $n = 0$ を外に出します。第 1 項の $n = 0$ は $a_{1}$ です。

$a_{1} = 0, (n + 1) a_{n + 1} = 2 a_{n - 1} (n \geq 1)$

$a_{1} = 0$ から $a_{3} = a_{5} = \dots = 0$ 。奇数番がすべて消えます。

偶数番を追います。 $n$ を $2 k - 1$ とすると $a_{2 k} = \frac{2 a _{2 k - 2}}{2 k} = \frac{a _{2 k - 2}}{k}$ です。

$a_{2} = a_{0}, a_{4} = \frac{a _{0}}{2}, a_{6} = \frac{a _{0}}{6}, a_{8} = \frac{a _{0}}{24}$

分母が $k!$ になりました。

$y = a_{0} k = 0 \sum \infty \frac{x ^{2 k}}{k !} = a_{0} e^{x^{2}}$

変数分離でも解ける式なので、答え合わせができます。 $\frac{d y}{y} = 2 x d x$ から $y = C e^{x^{2}}$ です。

級数から指数関数が出てくる筋道は、 $y^{'} = λ y$ を同じ手順で解いたときとまったく同じ^[3]。分母に階乗が積み上がる形を見たら、指数関数を疑ってよい。

問 2： $y^{''} + y = 0$

どちらの項も下端が $n = 0$ でそろいます。外に出す項がありません。

$(n + 2) (n + 1) a_{n + 2} + a_{n} = 0 ⟹ a_{n + 2} = \frac{- a _{n}}{( n + 2 ) ( n + 1 )}$

2 つ飛びなので、 $a_{0}$ と $a_{1}$ が独立に鎖を作ります。

$a_{0} = 1$ 、 $a_{1} = 0$ から出る鎖は $1, 0, - \frac{1}{2}, 0, \frac{1}{24}$ と続き、 $cos x$ になる。

$a_{0} = 0$ 、 $a_{1} = 1$ からは $sin x$ が出ます。分母が階乗として積み上がるところを、実際に 4 項ほど書いて確かめておくとよい。

問 3： $(1 - x^{2}) y^{''} - x y^{'} + 4 y = 0$

$x^{2} y^{''}$ が出てくる型です。項ごとにそろえた形を当てはめます。

$\sum (n + 2) (n + 1) a_{n + 2} x^{n} - \sum n (n - 1) a_{n} x^{n} - \sum n a_{n} x^{n} + 4 \sum a_{n} x^{n} = 0$

$x^{2} y^{''}$ と $x y^{'}$ は添字が動かないので、全部の下端が $n = 0$ でそろいました。

$a_{n}$ の係数をまとめます。 $- n (n - 1) - n + 4 = - n^{2} + 4$ です。

$(n + 2) (n + 1) a_{n + 2} = (n^{2} - 4) a_{n}$

右辺を因数分解すると $(n - 2) (n + 2)$ で、 $(n + 2)$ が約分できます。

$a_{n + 2} = \frac{n - 2}{n + 1} a_{n}$

$n = 2$ で分子が $0$ になり、 $a_{4} = 0$ 。偶数の鎖がここで止まります。

$a_{0} = 1$ なら $a_{2} = - 2$ で、 $y_{1} = 1 - 2 x^{2}$ 。多項式になりました。

奇数の鎖は止まりません。 $a_{1} = 1$ から $a_{3} = - \frac{1}{2}$ 、 $a_{5} = - \frac{1}{8}$ 、 $a_{7} = - \frac{1}{16}$ と続きます。

片方だけが多項式で止まる。チェビシェフ方程式に共通の性質です^[2]。

問 4： $y^{''} + x y^{'} + y = 0$

$x y^{'}$ の添字が動かないので、そのまま足せます。

$(n + 2) (n + 1) a_{n + 2} + n a_{n} + a_{n} = 0 ⟹ a_{n + 2} = \frac{- ( n + 1 ) a _{n}}{( n + 2 ) ( n + 1 )}$

$(n + 1)$ が約分されて、驚くほど簡単になります。

$a_{n + 2} = \frac{- a _{n}}{n + 2}$

$a_{0} = 1$ から $a_{2} = - \frac{1}{2}$ 、 $a_{4} = \frac{1}{8}$ 、 $a_{6} = - \frac{1}{48}$ 。分母が $2^{k} k!$ の形です。

$y_{1} = k = 0 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{k}}{2 ^{k} k !} x^{2 k} = e^{- x^{2} /2}$

$a_{1} = 1$ からは $x - \frac{x ^{3}}{3} + \frac{x ^{5}}{15} - \dots$ が出ます。こちらは初等関数で書けません。

$e^{- x^{2} /2}$ と、それに誤差関数を掛けたものの組。1 本だけが初等関数になる形はよく現れます。

問 5：初期条件を先に使う

$y^{''} - x y^{'} - y = 0, y (0) = 1, y^{'} (0) = 0$

$y (0) = a_{0}$ 、 $y^{'} (0) = a_{1}$ です。級数の定義から、代入する前に $a_{0} = 1$ 、 $a_{1} = 0$ と決まります。

漸化式を作ります。符号が問 4 と逆になるだけ。

$a_{n + 2} = \frac{a _{n}}{n + 2}$

$a_{1} = 0$ なので奇数側は全部 $0$ 。偶数側は $a_{2} = \frac{1}{2}$ 、 $a_{4} = \frac{1}{8}$ 、 $a_{6} = \frac{1}{48}$ です。

$y = k = 0 \sum \infty \frac{x ^{2 k}}{2 ^{k} k !} = e^{x^{2} /2}$

初期条件を最初に入れておくと、鎖が 1 本で済みます。あとから $c_{1}$ と $c_{2}$ を決める手間が要りません。

問 6：中心をずらす

$x = 1$ のまわりで $y^{''} - x y = 0$ を展開します。 $t = x - 1$ と置き換えるのが確実です。

$x = t + 1$ なので、方程式は $\frac{d ^{2} y}{d t ^{2}} - (t + 1) y = 0$ になります。

$\sum (n + 2) (n + 1) a_{n + 2} t^{n} - \sum a_{n} t^{n + 1} - \sum a_{n} t^{n} = 0$

第 2 項だけ下端がずれます。 $n = 0$ を外に出します。

$2 a_{2} - a_{0} = 0, (n + 2) (n + 1) a_{n + 2} = a_{n - 1} + a_{n} (n \geq 1)$

$a_{2} = \frac{a _{0}}{2}$ から始まり、 $a_{3} = \frac{a _{0} + a _{1}}{6}$ と続く。3 項の関係になるので、鎖が 2 本に分かれません。

中心をずらすと、 $x$ をそのまま残すより式が短くなります。 $x^{n}$ を二項展開する必要がないためです。

問 7：決定方程式だけを求める

確定特異点をもつ式では、まず指数を決めます。 $x^{2} y^{''} + x p (x) y^{'} + q (x) y = 0$ の形に直し、 $p_{0}$ と $q_{0}$ を読む^[4]。

決定方程式は $r (r - 1) + p_{0} r + q_{0} = 0$ です。3 つ続けて計算します。

$x^{2} y^{''} + x y^{'} + (x^{2} - 4) y = 0$

$p_{0} = 1$ 、 $q_{0} = - 4$ なので $r^{2} - 4 = 0$ 。根は $\pm 2$ で、差が $4$ の整数です。

$2 x^{2} y^{''} - x y^{'} + (1 + x) y = 0$

$2$ で割ると $p_{0} = - \frac{1}{2}$ 、 $q_{0} = \frac{1}{2}$ 。 $2 r^{2} - 3 r + 1 = 0$ から $r = 1, \frac{1}{2}$ で、差は $\frac{1}{2}$ 。

$x^{2} y^{''} + 3 x y^{'} + (1 + x) y = 0$

$p_{0} = 3$ 、 $q_{0} = 1$ なので $r^{2} + 2 r + 1 = (r + 1)^{2}$ 。 $r = - 1$ の重根です。

3 つで、整数差、非整数差、重根がひととおりそろいました。 $q (x)$ の定数項だけを読むところが要点で、 $x$ の 1 次以上は決定方程式に効きません。

検算のしかた

漸化式ができたら、 $n$ に小さい値を入れて具体的な数を並べます。 $a_{2}$ 、 $a_{3}$ 、 $a_{4}$ の 3 つで、たいていの符号ミスは見つかります。

次に、そこまでの多項式をもとの方程式に代入します。 $x^{0}$ 、 $x^{1}$ 、 $x^{2}$ の係数がそれぞれ $0$ になるかを見る。

級数が既知の関数になった場合は、その関数を直接代入するのがいちばん速い。問 4 なら $e^{- x^{2} /2}$ を入れて確かめます。

下端の扱いを間違えていないかは、 $n = 0$ の式を単独で書き出すと分かります。ここから $a_{1} = 0$ や $a_{2} = 0$ のような条件が出るかどうかが分かれ目です。

$y^{''} + x^{2} y = 0$ の漸化式はどれになりますか。

$a_{n + 2} = \frac{- a _{n}}{( n + 2 ) ( n + 1 )}$
$a_{n + 2} = \frac{- a _{n - 2}}{( n + 2 ) ( n + 1 )}$
$a_{n + 2} = \frac{- a _{n - 1}}{( n + 2 ) ( n + 1 )}$

__RESULT__

$x^{2} y$ は $\sum a_{n} x^{n + 2}$ なので、 $x^{n}$ にそろえると $\sum a_{n - 2} x^{n}$ になり、下端は $n = 2$ です。 $x$ を 2 つ掛けたぶん、添字が 2 つ下がります。 $x^{2} y^{''}$ なら添字は動きませんが、 $x^{2} y$ は微分を伴わないので動く、という違いです。 $n = 0$ と $n = 1$ の式は別に書き出し、 $a_{2} = a_{3} = 0$ を得ます。

そろえた形を 6 つ覚え、下端の違う項を外に出す。べき級数解法の計算で手を動かす部分は、この 2 つに尽きます。

参考

William F. Trench. *Series Solutions Near an Ordinary Point*/07%3A_Series_Solutions_of_Linear_Second_Order_Equations/7.03%3A_Series_Solutions_Near_an_Ordinary_Point_I). Elementary Differential Equations with Boundary Value Problems.

*Series Solutions and Orthogonal Polynomials*. Advanced Mathematics, University of Manchester.

*Potenzreihenansatz*. Mathematik-Nachschlagewerk.

Bessel Functions of the First and Second Kinds. NIST Digital Library of Mathematical Functions.

$y''$ をそのまま $y$ に足しても $x$ のべきがそろいません。$n$ を 2 つずらして $\sum(n+2)(n+1)a_{n+2}x^n$ にすれば比べられる。下端も同じだけ動かすのが要点です。$xy'$ と $x^2y''$ は添字が動かず、$xy$ は 1 つ上がる。この違いを 6 つの形にまとめてから、7 問を解きます。$y'-2xy=0$ で階乗が積み上がって $e^{x^2}$ が出る例、$(1-x^2)y''-xy'+4y=0$ で偶数側だけが $1-2x^2$ で止まる例、初期条件を代入前に使って鎖を 1 本にする例、中心を $x=1$ にずらす例、決定方程式を 3 つ続けて求める例まで。