この式はどの型で解くか？1 階微分方程式の見分け方と計算演習

$y^{'} = \frac{x + y}{x - y}$ はどの型か。変数を分けようとしても分かれず、 $y$ について 1 次でもない。

分母と分子を $x$ で割ってみる。

$y^{'} = \frac{1 + y / x}{1 - y / x}$

右辺に $x$ と $y$ が $\frac{y}{x}$ の形でしか現れない。同次形である。

型さえ決まれば、あとは手順どおりに進む。1 階の問題でつまずくのは、たいてい解く段階ではなく、この判定の段階である。

5 つの型と、その印

型	形	見分ける印
変数分離	$y^{'} = f (x) g (y)$	$x$ の因子と $y$ の因子の積に割れる
1 階線形	$y^{'} + p (x) y = q (x)$	$y$ と $y^{'}$ が 1 次で、掛け合わない
ベルヌーイ	$y^{'} + p (x) y = q (x) y^{n}$	$y^{n}$ が 1 つだけ余分に付く
同次形	$y^{'} = F (y / x)$	$x$ と $y$ が $y / x$ の形でしか出ない
完全形	$M d x + N d y = 0$	$M_{y} = N_{x}$

どれにも当たらなければ、積分因子を探すか、変数を入れかえる^[1]。

判定の順序

上から順に試すのが早い。手間の少ない型から見ていく。

順番には理由がある。変数分離はいちばん手が少なく、完全形は偏微分を 2 回計算しないと判定できない。

同次形をベルヌーイより後にしたのは、 $\frac{y}{x}$ の形に整理する手間があるためである。

同次形の見分け方をもう少し

$\frac{y}{x}$ の形に書き直すのが面倒なときは、 $x \to t x$ 、 $y \to t y$ と置いて右辺が変わるかを見る。

$\frac{x + y}{x - y}$ に入れると $\frac{t x + t y}{t x - t y} = \frac{x + y}{x - y}$ で、 $t$ が消えた。同次形である。

$\frac{x + y}{x - 1}$ なら $\frac{t x + t y}{t x - 1}$ で $t$ が残る。同次形ではない。

代入して $t$ が消えるかを見るだけなので、暗算でも判定できる^[4]。

この $t$ の検査は、右辺が次数 $0$ の同次関数かどうかを確かめている。

分子と分母が同じ次数なら $t$ が約分される。それが「同次形」という名前の由来である。

問 1： $y^{'} = \frac{x + y}{x - y}$

$v = \frac{y}{x}$ と置く。 $y = v x$ なので $y^{'} = v + x v^{'}$ である。

$v + x v^{'} = \frac{1 + v}{1 - v} ⟹ x v^{'} = \frac{1 + v}{1 - v} - v = \frac{1 + v ^{2}}{1 - v}$

$v$ を消さずに右辺をまとめるところが山場になる。分子は $1 + v - v + v^{2}$ で、 $v$ の 1 次が消える。

変数を分けて積分する。

$\int \frac{1 - v}{1 + v ^{2}} d v = \int \frac{d x}{x}$

左辺は 2 つに割れる。 $\frac{1}{1 + v ^{2}}$ が $arctan v$ 、 $\frac{- v}{1 + v ^{2}}$ が $- \frac{1}{2} ln (1 + v^{2})$ である。

$arctan v - \frac{1}{2} ln (1 + v^{2}) = ln ∣ x ∣ + C$

$v = \frac{y}{x}$ を戻す。 $\frac{1}{2} ln (1 + v^{2}) + ln ∣ x ∣$ は $\frac{1}{2} ln (x^{2} + y^{2})$ にまとまる。

$arctan \frac{y}{x} - \frac{1}{2} ln (x^{2} + y^{2}) = C$

極座標にすると正体が見える。 $θ - ln r = C$ 、つまり $r = A e^{θ}$ である。対数らせんになった。

canvas: 絵を作れませんでした

問 2：2 通りに読める式

$(1 + x^{2}) y^{'} = 2 x y$

$y$ について 1 次なので 1 階線形。同時に、両辺を割れば変数分離でもある。こういう式は珍しくない^[2]。

変数分離で解く。

$\int \frac{d y}{y} = \int \frac{2 x}{1 + x ^{2}} d x ⟹ ln ∣ y ∣ = ln (1 + x^{2}) + C$

$y = A (1 + x^{2})$ である。

線形として解いても同じ答えになる。 $y^{'} - \frac{2 x}{1 + x ^{2}} y = 0$ に積分因子 $μ = \frac{1}{1 + x ^{2}}$ を掛ける。

$(\frac{y}{1 + x ^{2}})^{'} = 0 ⟹ \frac{y}{1 + x ^{2}} = A$

どちらでもよいときは、手数の少ないほうを選ぶ。判定の順序で変数分離を先に置いたのは、このためである。

問 3： $x y^{'} + y = x^{3} y^{2}$

両辺を $x$ で割って標準形にする。

$y^{'} + \frac{y}{x} = x^{2} y^{2}$

$y^{2}$ が余分に付いているのでベルヌーイ。 $n = 2$ なので $u = y^{1 - n} = y^{- 1}$ と置く^[3]。

$u^{'} = - y^{- 2} y^{'}$ なので、方程式の両辺に $- y^{- 2}$ を掛ける。

$- y^{- 2} y^{'} - \frac{y ^{- 1}}{x} = - x^{2} ⟹ u^{'} - \frac{u}{x} = - x^{2}$

$y$ が消えて、 $u$ の 1 階線形になった。積分因子は $μ = e^{- \int d x / x} = \frac{1}{x}$ である。

$(\frac{u}{x})^{'} = - x ⟹ \frac{u}{x} = - \frac{x ^{2}}{2} + C$

$u = C x - \frac{x ^{3}}{2}$ なので、 $y = \frac{1}{u}$ に戻す。

$y = \frac{1}{C x - \frac{x ^{3}}{2}}$

$y \equiv 0$ も解である。 $u = y^{- 1}$ と置いた時点で $y = 0$ を除いているので、別に書き足す必要がある。

置き換えで消える解

$u = y^{1 - n}$ は $y = 0$ で定義できない。ベルヌーイでは $y \equiv 0$ を最後に足す

置き換えで消えない解

$v = y / x$ の同次形では、 $v$ が定数の解が一般解に含まれる。足し忘れは起きにくい

問 4： $(2 x y + 3 y^{2}) d x + (x^{2} + 6 x y - 3 y^{2}) d y = 0$

$y^{'}$ について解ける形ではない。 $M d x + N d y = 0$ の形なので、完全性を確かめる。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + 6 y, \frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 6 y$

一致した。 $M$ を $x$ で積分する。

$Φ = x^{2} y + 3 x y^{2} + g (y)$

$Φ_{y} = x^{2} + 6 x y + g^{'} (y)$ を $N$ と比べて $g^{'} (y) = - 3 y^{2}$ 、つまり $g = - y^{3}$ である。

$x^{2} y + 3 x y^{2} - y^{3} = C$

$Φ_{y}$ を計算したとき $x$ が残ったら、 $M$ の積分か $M_{y}$ の計算のどちらかを間違えている。

問 5：積分因子が要る場合

$y d x + (2 x - y e^{y}) d y = 0$

$M_{y} = 1$ 、 $N_{x} = 2$ で一致しない。まず $x$ だけの積分因子を探す。

$\frac{M _{y} - N _{x}}{N} = \frac{- 1}{2 x - y e ^{y}}$

$y$ が残るので、この形はあきらめる。次に $y$ だけを試す。

$\frac{N _{x} - M _{y}}{M} = \frac{1}{y}$

$y$ だけの関数になった。 $μ = e^{\int d y / y} = y$ である。

$y^{2} d x + (2 x y - y^{2} e^{y}) d y = 0$

$M_{y} = 2 y$ 、 $N_{x} = 2 y$ で完全になった。 $Φ = x y^{2} + g (y)$ から $g^{'} (y) = - y^{2} e^{y}$ が出る。

部分積分を 2 回くり返すと $\int y^{2} e^{y} d y = (y^{2} - 2 y + 2) e^{y}$ である。

$x y^{2} - (y^{2} - 2 y + 2) e^{y} = C$

2 つの判定式を順に試す。どちらも残ってしまう場合は、 $x y$ や $x + y$ の関数として探すことになる。

問 6：軸を入れかえる

$y^{'} = \frac{1}{x + y ^{2}}$

$y$ について線形ではない。 $y^{2}$ が分母にあるので、ベルヌーイでもない。同次形でもない。

ここで $x$ と $y$ の役割を入れかえてみる。逆数をとる。

$\frac{d x}{d y} = x + y^{2}$

$x$ を $y$ の関数と見ると、1 階線形である。積分因子は $μ = e^{- y}$ 。

$(x e^{- y})^{'} = y^{2} e^{- y}$

右辺を積分する。部分積分を 2 回で $\int y^{2} e^{- y} d y = - (y^{2} + 2 y + 2) e^{- y}$ である。

$x e^{- y} = - (y^{2} + 2 y + 2) e^{- y} + C ⟹ x = - (y^{2} + 2 y + 2) + C e^{y}$

$y$ について解けなくても構わない。 $x$ が $y$ の式で書ければ、解として十分である。

どの型にも当たらないとき、まずこの入れかえを試す価値がある^[1]。

canvas: 絵を作れませんでした

問 7：特殊解を 1 つ知っている場合

$y^{'} = y^{2} - \frac{2}{x ^{2}}$

右辺に $y^{2}$ があるので線形ではない。ベルヌーイの形にも当てはまらない。リッカチ型である^[4]。

リッカチ型は、特殊解を 1 つ見つけないと進めない。 $y = \frac{a}{x}$ と当たりを付けて代入する。

$- \frac{a}{x ^{2}} = \frac{a ^{2}}{x ^{2}} - \frac{2}{x ^{2}} ⟹ a^{2} + a - 2 = 0$

$a = 1$ または $a = - 2$ 。 $y_{1} = \frac{1}{x}$ を使う。

$y = y_{1} + z$ と置いて代入する。 $y^{2} = \frac{1}{x ^{2}} + \frac{2 z}{x} + z^{2}$ である。

$- \frac{1}{x ^{2}} + z^{'} = \frac{1}{x ^{2}} + \frac{2 z}{x} + z^{2} - \frac{2}{x ^{2}} ⟹ z^{'} = \frac{2 z}{x} + z^{2}$

定数項が消えて、ベルヌーイになった。 $n = 2$ なので $u = z^{- 1}$ と置く。

$u^{'} + \frac{2 u}{x} = - 1$

積分因子は $μ = x^{2}$ である。

$(x^{2} u)^{'} = - x^{2} ⟹ u = - \frac{x}{3} + \frac{C}{x ^{2}}$

$z = \frac{1}{u}$ を戻して $y = \frac{1}{x} + \frac{1}{u}$ が答えになる。

リッカチからベルヌーイへ、ベルヌーイから 1 階線形へ。2 段階で降りていく形である。

特殊解を 1 つ見つける

差をとってリッカチをベルヌーイに落とす

置き換えでベルヌーイを線形に落とす

積分因子で解く

検算のしかた

答えを得たら、微分して代入し直すのが基本である。陰関数のままなら、両辺を $x$ で微分し、 $y$ を $x$ の関数として連鎖律を使う。

問 4 の答えで試す。 $x^{2} y + 3 x y^{2} - y^{3} = C$ の両辺を $x$ で微分する。

$2 x y + x^{2} y^{'} + 3 y^{2} + 6 x y y^{'} - 3 y^{2} y^{'} = 0$

$y^{'}$ でくくると $(x^{2} + 6 x y - 3 y^{2}) y^{'} = - (2 x y + 3 y^{2})$ となり、もとの式に戻った。

置き換えを使った問題では、戻し忘れがいちばん多い。 $u$ や $v$ が答えに残っていないかを最後に確かめる。

失われる解にも注意したい。両辺を $y$ で割った場合は $y \equiv 0$ を、 $x$ で割った場合は $x = 0$ の扱いを、それぞれ別に見る。

$y^{'} = \frac{y ^{2} + x y}{x ^{2}}$ はどの型ですか。

同次形
ベルヌーイ
完全形

__RESULT__

$x \to t x$ 、 $y \to t y$ と置くと分子が $t^{2}$ 倍、分母も $t^{2}$ 倍になり、 $t$ が約分されます。次数 $0$ の同次関数なので同次形です。 $\frac{y}{x}$ でまとめると $y^{'} = v^{2} + v$ の形になります。 $y^{2}$ が見えるのでベルヌーイと早合点しやすいところですが、標準形 $y^{'} + p (x) y = q (x) y^{n}$ に整理すると $y^{'} - \frac{y}{x} = \frac{y ^{2}}{x ^{2}}$ となり、こちらでも解けます。同じ式が 2 つの型に当てはまる例です。

型を決めるのに要るのは、右辺を眺めて 3 つか 4 つの検査を通すことだけである。解く手順よりも先に、この検査を身につけたほうが速い。

参考文献

Paul Dawkins. *First Order Differential Equations*. Paul's Online Notes, Lamar University.

Jeffrey R. Chasnov. *Separable Equations*/03%3A_First-Order_ODEs/3.02%3A_Separable_Equations). Differential Equations, The Hong Kong University of Science and Technology.

*Bernoulli's Equations*. Ximera, The Ohio State University.

*Équations différentielles particulières*. Bibm@th.

$y' = (x+y)/(x-y)$ は分母分子を $x$ で割ると $y/x$ だけの式になり、同次形だと分かります。1 階でつまずくのは解く段階ではなく、この判定の段階。変数分離、1 階線形、ベルヌーイ、同次形、完全形の 5 つを、手間の少ない順に当てはめていきます。同次形かどうかは $x \to tx$、$y \to ty$ で $t$ が消えるかを見るだけ。7 問を解きながら、対数らせんが出る同次形、2 通りに読める式、$y \equiv 0$ が置き換えで消えるベルヌーイ、積分因子が $y$ だけの関数になる場合、$x$ を従属変数に入れかえる型、リッカチをベルヌーイに落とす手順まで扱います。