根を重複込みで数えれば一般解が組み上がる特性方程式の計算演習

$y^{(4)} + 18 y^{''} + 81 y = 0$ の特性方程式は $λ^{4} + 18 λ^{2} + 81 = 0$ 、つまり $(λ^{2} + 9)^{2} = 0$ です。

根は $\pm 3 i$ が 2 重ずつ。重複を込めて 4 個そろっています。

$y = (c_{1} + c_{2} x) cos 3 x + (c_{3} + c_{4} x) sin 3 x$

4 階なら独立な解が 4 本。書き出した解の本数が階数と一致するかを確かめるのが、最初の検算になります^[3]。

手順

係数をそのまま写して特性方程式を書く

因数分解し、根を重複込みで並べる

根の種類ごとに解を作る

本数が階数と一致するか数える

初期条件があれば、最後に連立方程式を解いて定数を決めます。

根の種類と解の対応

根	重複度	そこから出る解
実根 $λ$	$k$	$e^{λ x}, x e^{λ x}, \dots, x^{k - 1} e^{λ x}$
複素根 $α \pm i β$	$k$	$x^{j} e^{α x} cos β x$ と $x^{j} e^{α x} sin β x$ （ $j < k$ ）
$λ = 0$	$k$	$1, x, \dots, x^{k - 1}$

3 行目は 1 行目の特別な場合です。 $e^{0 \cdot x} = 1$ なので多項式が出てくる。ここを落とす人が多いところです^[2]。

因数分解のこつ

定数項が $0$ なら $λ$ でくくれます。 $λ^{3} - 4 λ^{2} + 4 λ$ は $λ (λ - 2)^{2}$ です。

整数係数で最高次の係数が $1$ なら、有理数の根は定数項の約数に限られます。 $λ^{3} - 2 λ^{2} - λ + 2$ なら $\pm 1$ 、 $\pm 2$ の 4 つを試すだけで済む。

$λ$ の偶数乗しか出てこないときは $t = λ^{2}$ と置きます。4 次が 2 次に落ちる。

複素根は必ず共役の対で現れます。片方だけ出てきたら、その時点で計算違いです。

canvas: 式は呼び出しにそのまま書いてください。この引数は焼けません -> drawMath(… mapRootCell[row][2][index] …)

問 1：2 階の実根と初期条件

$y^{''} - y^{'} - 6 y = 0, y (0) = 1, y^{'} (0) = 8$

特性方程式は $λ^{2} - λ - 6 = (λ - 3) (λ + 2) = 0$ です。根は $3$ と $- 2$ 。

$y = c_{1} e^{3 x} + c_{2} e^{- 2 x}$

$y^{'} = 3 c_{1} e^{3 x} - 2 c_{2} e^{- 2 x}$ を作り、 $x = 0$ を入れます。

$c_{1} + c_{2} = 1, 3 c_{1} - 2 c_{2} = 8$

$c_{2} = 1 - c_{1}$ を代入して $5 c_{1} = 10$ 。 $c_{1} = 2$ 、 $c_{2} = - 1$ です。

$y = 2 e^{3 x} - e^{- 2 x}$

初期条件を入れる前に $y^{'}$ を書き出しておくと、代入がそのまま連立方程式になります。

問 2：複素根と初期条件

$y^{''} + 4 y^{'} + 13 y = 0, y (0) = 2, y^{'} (0) = 1$

判別式は $16 - 52 = - 36$ で負。根は $λ = - 2 \pm 3 i$ です^[1]。

$y = e^{- 2 x} (c_{1} cos 3 x + c_{2} sin 3 x)$

微分は積の微分になります。 $e^{- 2 x}$ の微分と括弧の微分の両方が出る。

$y^{'} = e^{- 2 x} [(- 2 c_{1} + 3 c_{2}) cos 3 x + (- 2 c_{2} - 3 c_{1}) sin 3 x]$

$x = 0$ では $cos$ が $1$ 、 $sin$ が $0$ なので、残るのは $cos$ の係数だけです。

$y (0) = c_{1} = 2$ 、 $y^{'} (0) = - 2 c_{1} + 3 c_{2} = 1$ から $c_{2} = \frac{5}{3}$ 。

$y = e^{- 2 x} (2 cos 3 x + \frac{5}{3} sin 3 x)$

複素根の初期値問題では、 $y^{'}$ を書くところが山場です。 $- 2 c_{1} + 3 c_{2}$ の形を作れれば、あとは連立を解くだけ。

問 3： $λ = 0$ が根になる

$y^{'''} - 4 y^{''} + 4 y^{'} = 0$

定数項がありません。 $λ$ でくくります。

$λ^{3} - 4 λ^{2} + 4 λ = λ (λ - 2)^{2} = 0$

根は $0$ が 1 重、 $2$ が 2 重。合わせて 3 個で、階数と一致します。

$y = c_{1} + (c_{2} + c_{3} x) e^{2 x}$

$λ = 0$ から出るのは定数 $c_{1}$ です。 $e^{0 \cdot x} = 1$ なので、指数関数の形が消えます。

もとの方程式に $y$ そのものが現れていないことに気づけば、定数がいつでも解になると分かる。検算にも使えます。

問 4：有理根を探す

$y^{'''} - 2 y^{''} - y^{'} + 2 y = 0$

特性方程式は $λ^{3} - 2 λ^{2} - λ + 2 = 0$ 。定数項が $2$ なので、候補は $\pm 1$ 、 $\pm 2$ です。

$λ = 1$ を入れると $1 - 2 - 1 + 2 = 0$ 。当たりました。

$λ - 1$ で割ると $λ^{2} - λ - 2 = (λ - 2) (λ + 1)$ になります。

$y = c_{1} e^{x} + c_{2} e^{2 x} + c_{3} e^{- x}$

この式は $λ^{2} (λ - 2) - (λ - 2) = (λ - 2) (λ^{2} - 1)$ ともまとめられます。項をどう組むかで、割り算を省ける場合がある^[4]。

問 5：偶数乗だけの 4 次

$y^{(4)} - 5 y^{''} + 4 y = 0$

$λ$ の偶数乗しか出てきません。 $t = λ^{2}$ と置きます。

$t^{2} - 5 t + 4 = (t - 1) (t - 4) = 0$

$t = 1, 4$ なので $λ = \pm 1, \pm 2$ 。単根が 4 つそろいました。

$y = c_{1} e^{x} + c_{2} e^{- x} + c_{3} e^{2 x} + c_{4} e^{- 2 x}$

$t$ に戻すのを忘れると、根が 2 つしかないことになってしまう。置き換えたら必ず戻します。

問 6：実根と純虚根が混ざる

$y^{(4)} - 16 y = 0$

$λ^{4} = 16$ です。実数だけを考えると $\pm 2$ しか出ませんが、複素数まで含めると 4 つあります。

$λ^{4} - 16 = (λ^{2} - 4) (λ^{2} + 4)$ と分ければ見えます。根は $\pm 2$ と $\pm 2 i$ 。

$y = c_{1} e^{2 x} + c_{2} e^{- 2 x} + c_{3} cos 2 x + c_{4} sin 2 x$

純虚数の根では $α = 0$ なので、指数の部分が $1$ になります。三角関数だけが残る。

指数で伸びる 2 本と、振動する 2 本。同じ方程式の中に、まったく違う振る舞いが同居しています。

問 7：複素根が重なる

$y^{(4)} + 18 y^{''} + 81 y = 0$

$t = λ^{2}$ と置くと $t^{2} + 18 t + 81 = (t + 9)^{2}$ です。 $t = - 9$ の重根なので $λ = \pm 3 i$ が 2 重ずつ。

$y = (c_{1} + c_{2} x) cos 3 x + (c_{3} + c_{4} x) sin 3 x$

$x$ を掛けた項が入るので、振幅が時間とともに伸びます。共鳴と同じ形が、同次方程式の中に現れる。

問 8：4 本の初期条件を入れる

問 7 の式に $y (0) = 1$ 、 $y^{'} (0) = y^{''} (0) = y^{'''} (0) = 0$ を課します。

$y (0) = c_{1} = 1$ です。 $y^{'}$ を計算します。

$y^{'} = (c_{2} + 3 c_{3} + 3 c_{4} x) cos 3 x + (c_{4} - 3 c_{1} - 3 c_{2} x) sin 3 x$

$x = 0$ で $y^{'} (0) = c_{2} + 3 c_{3} = 0$ 。もう 1 回微分して $y^{''} (0) = - 9 c_{1} + 6 c_{4} = 0$ から $c_{4} = \frac{3}{2}$ 。

さらに微分すると $y^{'''} (0) = - 27 c_{2} - 27 c_{3}$ になります。 $c_{2} = - 3 c_{3}$ を入れると $54 c_{3} = 0$ で、 $c_{3} = 0$ 、 $c_{2} = 0$ 。

$y = cos 3 x + \frac{3}{2} x sin 3 x$

高階の初期値問題では、 $x = 0$ で $sin$ の項がすべて消えます。生き残るのは $cos$ に掛かる係数だけ。この性質を使うと、連立が上から順にほどけます。

検算のしかた

まず根の個数を重複込みで数えます。階数と一致していなければ、因数分解のどこかで落としている。

次に、根と係数の関係を使います。 $λ^{3} - 2 λ^{2} - λ + 2$ なら、根の和が $2$ 、積が $- 2$ になるはず。 $1 + 2 - 1 = 2$ 、 $1 \times 2 \times (- 1) = - 2$ で合います。

解を 1 本選び、実際に代入して確かめます。 $x$ の掛かった形が特に間違えやすい。 $x e^{2 x}$ を 2 回微分すると $(4 x + 4) e^{2 x}$ です。

初期値問題では、求めた解に $x = 0$ を入れて条件がすべて戻るかを見ます。4 本あれば 4 本とも確かめる。

根が足りないとき

因数分解で $λ$ を落としたか、複素根を見落としている

本数が余るとき

重複度を多く数えている。 $(λ - 2)^{2}$ を $(λ - 2)^{3}$ と読んでいないか

どちらも、因数分解した式を書き出して指数を数え直せば見つかります。

$y^{(4)} - 8 y^{''} + 16 y = 0$ の一般解はどれですか。

$c_{1} e^{2 x} + c_{2} e^{- 2 x} + c_{3} cos 2 x + c_{4} sin 2 x$
$(c_{1} + c_{2} x) e^{2 x} + (c_{3} + c_{4} x) e^{- 2 x}$
$c_{1} e^{4 x} + c_{2} e^{- 4 x} + c_{3} x + c_{4}$

__RESULT__

$t = λ^{2}$ と置くと $t^{2} - 8 t + 16 = (t - 4)^{2}$ です。 $t = 4$ の重根なので $λ = \pm 2$ がそれぞれ 2 重根になります。重複しているぶん $x$ を掛けた解が入ります。 $(t - 4)^{2}$ を $t^{2} - 16$ と読み違えると、1 番目の誤答が出ます。

係数を写して因数分解し、根を重複込みで数える。特性方程式の問題でやることは、この 3 つと、初期条件の連立だけです。

出典

*Complex Roots of the Characteristic Equation*. Ordinary Differential Equations, Union College.

*Charakteristisches Polynom einer Differentialgleichung*. Lexikon der Mathematik, Spektrum.

Jiří Lebl. *Higher Order Linear ODEs*/2%3A_Higher_order_linear_ODEs/2.3%3A_Higher_order_linear_ODEs). Differential Equations for Engineers.

Paul Dawkins. *Repeated Roots*. Paul's Online Notes, Lamar University.

$y^{(4)} + 18y'' + 81y = 0$ の特性方程式は $(\lambda^2+9)^2 = 0$ で、$\pm3\mathrm{i}$ が 2 重ずつ。書き出した解の本数が階数と一致するかが最初の検算です。定数項が $0$ なら $\lambda$ でくくり、偶数乗しか出ないなら $t = \lambda^2$ と置く。整数係数なら有理根の候補は定数項の約数に限られます。8 問で、実根の初期値問題、複素根で $y'$ を書くところ、$\lambda=0$ から定数が出る場合、有理根を探す 3 階、複 2 次式の 4 階、実根と純虚根が混ざる場合、虚根が重なって振幅が伸びる場合、4 本の初期条件を上からほどく手順まで扱います。