境界条件が飛び飛びの値を選ぶ〜固有値問題と固有関数の計算演習

$X^{''} + λ X = 0$ は、 $λ$ がどんな値でも解ける。ところが $X (0) = X (π) = 0$ を付けた瞬間、 $λ$ は $1, 4, 9, \dots$ しか許されなくなる。

方程式ではなく境界条件が、値を飛び飛びに選んでいる。選ばれた値が固有値、対応する解が固有関数である^[1]。

どの境界条件を付けるかで、選ばれる値も関数も変わる。同じ方程式を 5 通りの条件で解いてみる。

場合分けの型

$λ$ の符号ごとに、一般解の姿が違う。まずこれを並べておく。

$λ$	一般解	確かめること
$λ < 0$ （ $λ = - μ^{2}$ ）	$A cosh μx + B sinh μx$	自明解しか残らないか
$λ = 0$	$A + B x$	定数の解が生き残るか
$λ > 0$ （ $λ = μ^{2}$ ）	$A cos μx + B sin μx$	$μ$ にどんな条件が付くか

3 つとも確かめる必要がある。 $λ > 0$ だけを調べて答えにするのは、よくある減点箇所である^[2]。

問 1：両端で値が $0$

$X^{''} + λ X = 0, X (0) = X (L) = 0$

$λ < 0$ から見る。 $X (0) = A = 0$ なので $X = B sinh μx$ である。

$X (L) = B sinh μL = 0$ で、 $μ > 0$ なら $sinh μL \neq = 0$ 。したがって $B = 0$ で自明解しか残らない。

$λ = 0$ なら $X = A + B x$ 。 $A = 0$ と $B L = 0$ から、やはり $B = 0$ である。

$λ > 0$ では $X (0) = A = 0$ から $X = B sin μx$ 。

$B sin μL = 0 ⟹ μL = nπ$

$λ_{n} = (\frac{nπ}{L})^{2}, X_{n} = sin \frac{nπ x}{L} (n = 1, 2, 3, \dots)$

$n = 0$ は $X \equiv 0$ になるので数えない。 $n$ と $- n$ は同じ関数の定数倍なので、正の側だけでよい。

右端の値が $0$ を横切る瞬間だけ、条件を満たす解が現れる。飛び飛びになる理由が絵で見える。

問 2：両端で微分が $0$

$X^{'} (0) = X^{'} (L) = 0$

$λ < 0$ では $X^{'} = μ (A sinh μx + B cosh μx)$ 。 $X^{'} (0) = μ B = 0$ から $B = 0$ 。

$X^{'} (L) = μ A sinh μL = 0$ で $A = 0$ 。ここまでは問 1 と同じ結果である。

$λ = 0$ で違いが出る。 $X = A + B x$ 、 $X^{'} = B$ なので、 $B = 0$ だけが要求される。

$A$ には何の条件も付かない。 $λ_{0} = 0$ 、 $X_{0} = 1$ が固有値と固有関数になる。

$λ > 0$ では $X^{'} (0) = μ B = 0$ から $B = 0$ 、 $X^{'} (L) = - μ A sin μL = 0$ から $sin μL = 0$ 。

$λ_{n} = (\frac{nπ}{L})^{2}, X_{n} = cos \frac{nπ x}{L} (n = 0, 1, 2, \dots)$

$n = 0$ から始まるところが問 1 との違いである。 $cos 0 = 1$ で、 $λ = 0$ の解と一致する。

定数の解を落とすと、断熱した棒の平均温度が消えてしまう。 $λ = 0$ を必ず確かめる理由がここにある。

問 3：片方が値、片方が微分

$X (0) = 0, X^{'} (L) = 0$

$λ \leq 0$ が潰れるのは問 1 と同じ手順なので、 $λ > 0$ を見る。

$X (0) = 0$ から $A = 0$ 、 $X = B sin μx$ である。微分して $X^{'} = μ B cos μx$ 。

$cos μL = 0 ⟹ μL = \frac{( 2 n - 1 ) π}{2}$

$λ_{n} = (\frac{( 2 n - 1 ) π}{2 L})^{2}, X_{n} = sin \frac{( 2 n - 1 ) π x}{2 L}$

半端な波長が並ぶ。いちばん低いモードは $L$ が 4 分の 1 波長にあたる。

片方を固定し、もう片方を自由にした棒や、片持ちの構造で現れる形である。

問 4：周期の条件

区間を $[- L, L]$ にとり、両端で値と微分の両方をつなぐ。

$X (- L) = X (L), X^{'} (- L) = X^{'} (L)$

$λ = 0$ では $X = A + B x$ 。 $A - B L = A + B L$ から $B = 0$ で、 $X_{0} = 1$ が残る。

$λ > 0$ を見る。 $cos$ は偶関数、 $sin$ は奇関数なので、値の条件は次のようになる。

$A cos μL - B sin μL = A cos μL + B sin μL ⟹ B sin μL = 0$

微分の条件からは $A sin μL = 0$ が出る。 $A$ と $B$ の両方を $0$ にしたくないので、 $sin μL = 0$ を選ぶ。

$λ_{n} = (\frac{nπ}{L})^{2}, X_{n} = cos \frac{nπ x}{L}, \tilde{X}_{n} = sin \frac{nπ x}{L}$

固有値 1 つに固有関数が 2 本ある。問 1 から問 3 では起きなかったことである^[3]。

端どうしをつなぐ条件は、区間の左右を分けて書けない。この形を非分離型と呼び、重複が現れるのはこの型に限られる。

問 5：右端でばねにつなぐ

$X (0) = 0, X^{'} (1) + h X (1) = 0 (h > 0)$

熱が端から逃げる量が温度に比例する、という条件にあたる。ロビン条件と呼ばれる。

$X (0) = 0$ から $X = B sin μx$ 。右端の条件に入れる。

$μ B cos μ + h B sin μ = 0 ⟹ tan μ = - \frac{μ}{h}$

$μ$ の 2 次方程式ではなく、超越方程式になった。閉じた形では解けない^[1]。

それでも根が無限にあることは、グラフを描けば分かる。 $tan μ$ の各枝と直線 $- \frac{μ}{h}$ が 1 回ずつ交わる。

$h$ を大きくすると直線が寝て、交点は $nπ$ に近づく。右端の条件が「値が $0$ 」に近づくためである。

$h$ を小さくすると直線が立ち、交点は $(n - \frac{1}{2}) π$ へ寄る。こちらは問 3 の答えと一致する。

ロビン条件は、ディリクレと混合のあいだを連続につないでいる。

問 6：区間の左端が $0$ でない

$X^{''} + λ X = 0, X (1) = X (3) = 0$

$s = x - 1$ と置き換えると、区間が $[0, 2]$ になる。問 1 の答えに $L = 2$ を入れればよい。

$λ_{n} = (\frac{nπ}{2})^{2}, X_{n} = sin \frac{nπ ( x - 1 )}{2}$

置き換えずに $A cos μx + B sin μx$ のまま進めると、 $A$ と $B$ の連立が面倒になる。区間の左端を $0$ に寄せてから解くのが速い。

問 7：オイラー型の固有値問題

$x^{2} X^{''} + x X^{'} + λ X = 0, X (1) = X (e) = 0$

次数がそろっているので $X = x^{m}$ を入れる。 $m (m - 1) + m + λ = m^{2} + λ = 0$ である。

$λ > 0$ なら $m = \pm i λ$ 。複素の指数なので、三角関数の中身が $ln x$ になる。

$X = c_{1} cos (λ ln x) + c_{2} sin (λ ln x)$

$X (1) = 0$ では $ln 1 = 0$ なので $c_{1} = 0$ 。 $X (e) = 0$ では $ln e = 1$ なので $sin λ = 0$ 。

$λ_{n} = n^{2} π^{2}, X_{n} = sin (nπ ln x)$

直交性の重みが $1$ ではない点に注意したい。方程式を $\frac{d}{d x} (x \frac{d X}{d x}) + \frac{λ}{x} X = 0$ と書き直すと、重みが $\frac{1}{x}$ だと分かる^[4]。

$\int_{1}^{e} sin (mπ ln x) sin (nπ ln x) \frac{d x}{x} = 0 (m \neq = n)$

$t = ln x$ と置けば $d t = \frac{d x}{x}$ で、問 1 の直交性そのものに戻る。

重み $\frac{1}{x}$ は置き換え $t = ln x$ のヤコビアンである。

座標を替えたときに出る係数なので、置き換えの前後で内積が保たれる。

零点の数で見当を付ける

固有関数 $X_{n}$ は、区間の内側にちょうど $n - 1$ 個の零点をもつ^[2]。

問 1 の $sin \frac{nπ x}{L}$ で確かめる。 $n = 1$ なら内側に零点はなく、 $n = 3$ なら 2 個ある。

答えを出したあと、グラフを思い浮かべて零点を数えれば、番号のずれに気づける。問 3 の $sin \frac{( 2 n - 1 ) π x}{2 L}$ でも同じ規則が成り立つ。

検算のしかた

まず $λ < 0$ と $λ = 0$ を確かめたかを見る。ノイマン条件や周期条件では $λ = 0$ が生きるので、飛ばすと 1 本落とす。

次に固有関数を境界条件に入れ直す。 $sin \frac{( 2 n - 1 ) π x}{2 L}$ を微分し、 $x = L$ で $cos \frac{( 2 n - 1 ) π}{2} = 0$ になるかを見る。

固有値が $n$ とともに増え、 $n \to \infty$ で無限へ発散しているかも確かめる。減っていたら、 $μ$ と $λ$ の関係をとり違えている^[3]。

最後に直交性を 1 組だけ計算する。 $m = 1$ 、 $n = 2$ で $0$ になれば、たいてい全体が正しい。

$X^{''} + λ X = 0$ を $X^{'} (0) = 0$ 、 $X (L) = 0$ で解いたとき、いちばん小さい固有値はどれですか。

$(\frac{π}{2 L})^{2}$
$(\frac{π}{L})^{2}$
$0$

__RESULT__

$X^{'} (0) = 0$ から $X = A cos μx$ となり、 $X (L) = A cos μL = 0$ より $μL = \frac{( 2 n - 1 ) π}{2}$ です。 $n = 1$ が最小で $μ = \frac{π}{2 L}$ 。 $λ = 0$ は $X = A + B x$ に条件を当てると $B = 0$ 、 $A = 0$ となって自明解しか残らないので、固有値になりません。左右が入れかわっても、半端な波長が並ぶ点は同じです。

$λ$ の符号で 3 通りに分け、境界条件を当て、 $μ$ に付く条件を読む。固有値問題の計算は、この 1 本道である。

参考文献

Jiří Lebl. *Sturm-Liouville Problems*. Notes on Diffy Qs.

Russell Herman. *Properties of Sturm-Liouville Eigenvalue Problems*/04%3A_Sturm-Liouville_Boundary_Value_Problems/4.02%3A_Properties_of_Sturm-Liouville_Eigenvalue_Problems). Introduction to Partial Differential Equations.

Leon van Dommelen. *A Summary of Separation of Variables*. Partial Differential Equations, Florida State University.

*Problème de Sturm-Liouville : valeurs propres*. Tangente.

$X'' + \lambda X = 0$ は $\lambda$ が何でも解けますが、$X(0)=X(\pi)=0$ を付けた瞬間に $\lambda = 1, 4, 9, \ldots$ しか残りません。選んでいるのは方程式ではなく境界条件です。$\lambda<0$、$\lambda=0$、$\lambda>0$ の 3 通りを毎回つぶすところから始め、7 問を解きます。両端で値が $0$、両端で微分が $0$ で定数の解が生き残る場合、半端な波長が並ぶ混合条件、固有値 1 つに固有関数が 2 本つく周期条件、$\tan\mu = -\mu/h$ という超越方程式になるロビン条件、区間をずらす場合、重みが $1/x$ になるオイラー型まで。