頂点に集まる面の角を平らに広げると、和が $360^\circ$ に届かないときだけ折り上げられます。正三角形なら 3、4、5 枚、正方形と正五角形は 3 枚ずつ。正六角形は 3 枚でもう $360^\circ$ で使えません。通る組み合わせが 5 つしかないので、正多面体も 5 つで打ち止め。$V - E + F = 2$ から出す道もあり、$\frac{1}{p} + \frac{1}{q} > \frac{1}{2}$ を満たす整数の組がやはり 5 つになります。立方体と正八面体が入れかわる双対の関係まで。