正多面体が 5 種類で打ち止めになる - オイラーの多面体定理から

すべての面が合同な正多角形で、どの頂点にも同じ数の面が集まる立体。この条件を満たす凸多面体は 5 つしかありません。

正四面体、立方体、正八面体、正十二面体、正二十面体。6 つ目を探しても見つからない理由が、はっきり示せます。

数え上げは 2 通りの道からできます。

頂点まわりの角で数える

立体の頂点を 1 つ選び、そこに集まる面の角を平らに広げます。角の和が $360^{\circ }$ ちょうどなら平面になり、折り上げられません。

$360^{\circ }$ を超えると、面どうしが重なってしまう。だから角の和は $360^{\circ }$ より小さくなければなりません^[1]。

さらに、頂点には少なくとも 3 枚の面が集まる必要があります。2 枚では立体の角ができない。

この 2 つの条件で候補が絞れます。

面の種類ごとに調べる

正三角形の内角は $60^{\circ }$ です。3 枚なら $180^{\circ }$、4 枚なら $240^{\circ }$、5 枚なら $300^{\circ }$。ここまでは $360^{\circ }$ 未満で通ります。

6 枚だと $360^{\circ }$ ちょうどになって平らになる。だから正三角形では 3 枚、4 枚、5 枚の 3 通りです^[1]。

正方形は内角が $90^{\circ }$。3 枚で $270^{\circ }$、4 枚で $360^{\circ }$。通るのは 3 枚だけ。

正五角形は内角が $108^{\circ }$。3 枚で $324^{\circ }$、4 枚で $432^{\circ }$。こちらも 3 枚だけです。

正六角形は内角が $120^{\circ }$ なので、3 枚でもう $360^{\circ }$。使えません。7 角以上はさらに大きくなるので同じです。

5 つに決まる

通る組み合わせは 5 つです。正三角形が 3 枚、4 枚、5 枚。正方形が 3 枚。正五角形が 3 枚。

それぞれ順に、正四面体、正八面体、正二十面体、立方体、正十二面体になります。

面の形と集まる枚数を決めれば立体が 1 つに決まる。だから 5 種類で打ち止めです^[1]。

オイラーの多面体定理から出す

同じ結論を、頂点と辺と面の個数から出す道もあります。凸多面体では次が成り立ちます^[3]。

$$V-E+F=2$$

面が正 $p$ 角形で、1 つの頂点に $q$ 枚集まるとします。辺を 2 通りに数えると $pF=2E$、$qV=2E$ が出る。

代入して整理すると条件が 1 本にまとまります。

$$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}>\frac{1}{2}$$

$p\ge 3$、$q\ge 3$ の整数でこれを満たす組は、$(3,3)$、$(3,4)$、$(3,5)$、$(4,3)$、$(5,3)$ の 5 つだけ。角で数えたときと同じ答えです。

双対という対応

立方体は頂点が $8$、面が $6$。正八面体は頂点が $6$、面が $8$。数が入れかわっています。

各面の中心を頂点にとって結ぶと、立方体から正八面体が、正八面体から立方体が出てきます。この関係を双対といいます^[2]。

正十二面体と正二十面体も双対の組です。正四面体は自分自身と双対になります。

辺の数は双対でも変わりません。だから $12$ と $12$、$30$ と $30$ でそろっています。

定理の歴史

$V-E+F=2$ は 1537 年にマウロリコが 5 つの正多面体について述べ、1630 年ごろにはデカルトが同等の形に達していました^[3]。

オイラーが 1752 年に発表した証明には不備があり、完全な証明はルジャンドルが 1794 年に球面角を使って与えました^[3]。

いまでは 20 通り以上の証明が知られています。位相を使うもの、幾何を使うもの、組み合わせを使うもの。どれも同じ式に行きつきます^[3]。

例：正十二面体で確かめる

面が正五角形で 12 枚、1 つの頂点に 3 枚集まります。$p=5$、$q=3$。

$pF=2E$ から $5\times 12=2E$ で $E=30$。$qV=2E$ から $3V=60$ で $V=20$。

$V-E+F=20-30+12=2$。式が成り立ちました。

条件のほうも確かめます。$\frac{1}{5}+\frac{1}{3}=\frac{8}{15}$ で、これは $\frac{1}{2}=\frac{7.5}{15}$ より大きい。ぎりぎり通っています。

つまずきやすいところ

$360^{\circ }$ の壁と、$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}>\frac{1}{2}$ という不等式。2 つの道が同じ 5 つに行きつきます。

参考文献