平面に垂直な直線を示すとき、三垂線の定理が使える場面

直線が平面に垂直だと言うには、平面上のすべての直線と直角に交わることを示す必要があります。全部を確かめるのは無理です。

交わる 2 本だけ確かめれば足ります。そこから残りは自動的に出ます。

その根拠が第 11 巻の 4 番目です。

2 本で足りる

ユークリッドは、交わる 2 直線にその交点で直角に立つ直線は、その 2 直線を含む平面に垂直だと述べています^[1]。

平面上の直線は無数にありますが、2 本だけ確かめれば残りは決まる。この命題が、空間の垂直を扱う土台になります。

条件は 2 つあります。2 直線が交わっていること、そして垂直を確かめる点がその交点であること。

平行な 2 直線で確かめても足りません。同じ向きの情報を 2 回見ているだけになるためです。

三垂線の定理

平面 $\alpha$ の上に直線 $\ell$ があり、$\alpha$ の外に点 A があるとします。A から $\alpha$ へ下ろした垂線の足を H とする。

さらに H から $\ell$ へ下ろした垂線の足を K とします。このとき AK は $\ell$ に垂直になります。

垂線が 3 本続けて現れるので、三垂線の定理と呼ばれます。逆向きの言い方もでき、3 つのうち 2 つが分かれば残る 1 つが出ます。

示し方

$\ell$ が AK に垂直だと示します。使うのは、さきほどの 2 本で足りるという命題です。

$AH$ は平面 $\alpha$ に垂直なので、$\alpha$ 上の $\ell$ とも垂直。$HK$ は作り方から $\ell$ に垂直です。

$\ell$ は、交わる 2 直線 AH と HK の両方に垂直で、しかも交点 H を通る面の中で考えている。だから $\ell$ は平面 AHK に垂直になります^[1]。

AK はその平面 AHK の中の直線なので、$\ell$ と垂直です。垂線が 1 本増えました。

例：立方体で使う

立方体 ABCD-EFGH を考えます。頂点 E から底面 ABCD へ下ろした垂線の足は A です。辺 AE が底面に垂直だからです。

底面の中で、A から対角線 BD へ垂線を下ろします。足を M とすると、正方形の対角線の性質から M は BD の中点。

ここで三垂線の定理を当てると、EM が BD に垂直だと分かります。長さを 1 つも計算せずに直角が言えました。

平面に垂線を立てる作図そのものも、同じ枠の中で扱えます^[2]。

逆向きにも使える

3 つの垂直のうち 2 つが分かれば、残る 1 つが出ます。組み合わせは 3 通り。

問題では 2 番目の形もよく出ます。斜めの垂線が分かっていて、真下に落とした垂線を求めるときです。

3 番目は結論が平面についての垂直になるので、少し形が違います。使う場面も変わってきます。

例：垂線の長さを求める

$1$ 辺が $6$ の正方形 ABCD を底面とし、A の真上に高さ $8$ の点 P を置きます。

P から辺 BC へ下ろした垂線の長さを求めます。まず A から BC へ下ろした垂線の足は B です。$AB=6$。

三垂線の定理から PB が BC に垂直だと分かります。求める長さは $PB$。

$$PB=\sqrt{P{A}^2+A{B}^2}=\sqrt{64+36}=10$$

垂線の足がどこかを先に決めれば、あとは三平方の定理 1 回で済みます^[3]。

つまずきやすいところ

2 本で足りる。この 1 つの命題から、空間の垂直はほとんど組み立てられます。

参考文献