ねじれた 2 直線のなす角はどうやって測る？平行移動でそろえる

ねじれの位置にある 2 直線は交わらないので、角を直接あてられません。片方を平行に動かして、もう一方と交わらせてから測ります。

どこへ動かしても同じ角が出る。だからこの測り方で角が 1 つに決まります。

動かし方によらないことは、ユークリッドが証明しています。

動かし方によらない

第 11 巻の 10 番目はこう述べます。交わる 2 直線が、同じ平面にない別の交わる 2 直線とそれぞれ平行なら、はさむ角は等しい^[1]。

証明では 4 本の直線に等しい長さを切りとり、三角形を 2 つ作ります。3 辺がそれぞれ等しくなるので合同。だから角も等しくなります^[1]。

この命題があるので、ねじれた 2 直線のなす角を平行移動で定義できます。どこへ動かしても角が変わらないと保証されている。

平行移動で交点を作る位置は自由です。片方の直線上の好きな点を選べる^[2]。

立方体で測る

立方体 ABCD-EFGH で、辺 AB と辺 CG のなす角を求めます。この 2 本はねじれの位置です。

CG を平行に動かして B へ運ぶと、辺 BF に重なります。AB と BF は直交しているので、なす角は $90^{\circ }$。

次に辺 AB と辺 DG を考えます。DG を A へ運ぶと、面 ABFE の対角線 AF に重なる。

AB と AF がはさむ角は $45^{\circ }$ です。正方形の対角線が辺と作る角だからです。

例：面の対角線どうし

立方体の面の対角線 AF と BG を考えます。AF は面 ABFE の対角線、BG は面 BCGF の対角線です。

この 2 本は交わりません。共有しそうな点がないので、ねじれの位置にあります。

BG を A へ運ぶと、面 ADHE の対角線 AH に重なります。三角形 AFH を見ると、3 辺がすべて面の対角線で長さが等しい。

正三角形なので、なす角は $60^{\circ }$ です。面の対角線の長さが等しいことは、三平方の定理からすぐ出ます^[3]。

ベクトルで測る

座標が与えられているなら、方向ベクトルの内積で測れます。

$A(0,0,0)$、$B(1,0,0)$、$F(1,1,0)$、$G(1,1,1)$ とすると、AF の方向は $(1,1,0)$、BG の方向は $(0,1,1)$。

$$\cos \theta =\frac{|(1,1,0)\cdot (0,1,1)|}{\sqrt{2}\times \sqrt{2}}=\frac{1}{2}$$

$\theta =60^{\circ }$ が出ました。図で運ぶ方法と同じ答えになります。

絶対値をとるのは、なす角を $0^{\circ }$ から $90^{\circ }$ の範囲で答える約束があるためです。

例：正六角柱

正六角柱 ABCDEF-GHIJKL を考えます。底面の辺 AB と上面の辺 IJ のなす角を求めます。

I は C の真上、J は D の真上なので、IJ は CD と平行です。だから AB と IJ のなす角は、AB と CD のなす角に等しい。

正六角形の内角は $120^{\circ }$ です。AB と CD を延ばして交わらせると、$60^{\circ }$ の角ができます。

答えは $60^{\circ }$。上下の位置がずれていても、真上に落として平面の問題に直せば済みます。

角の範囲

なす角は $0^{\circ }$ より大きく $90^{\circ }$ 以下で答えます。2 直線を運んで交わらせると角が 2 種類できますが、小さいほうを選ぶ約束です。

$100^{\circ }$ という答えが出たら、$180^{\circ }-100^{\circ }=80^{\circ }$ に直します。

平行な 2 直線のなす角は $0^{\circ }$ とし、ふつうはねじれか交わる場合だけを考えます。

つまずきやすいところ

運んでそろえる。空間の角度は、この一手で平面の角度に置きかわります。

参考文献