立方体の頂点をつなぐと正四面体も正八面体も現れる

立方体の 8 つの頂点から 1 つおきに 4 つ選んで結ぶと、正四面体ができます。6 つの面の中心を結ぶと、正八面体ができます。

3 種類の正多面体が 1 つの立方体の中に収まっている。体積の比も、割り算しやすい値で並びます。

まず正四面体からたどります。

1 つおきに 4 頂点を選ぶ

立方体 ABCD-EFGH で、頂点 A、C、F、H を選びます。どの 2 つも辺でつながっていない組み合わせです。

この 4 点を結ぶ 6 本の線分は、すべて立方体の面の対角線になります。だから長さがそろう。

1 辺が $a$ の立方体なら、面の対角線は $2 a$ 。 $6$ 本とも同じ長さなので、正四面体です。

選び方は 2 通りあります。もう一方は B、D、E、G。どちらも同じ大きさの正四面体になります。

体積は立方体の 3 分の 1

正四面体を切りとると、立方体には角が 4 つ残ります。それぞれ、直角をはさむ 3 辺が $a$ の三角錐です。

三角錐 1 つの体積は $\frac{1}{3} \times \frac{a ^{2}}{2} \times a = \frac{a ^{3}}{6}$ 。4 つで $\frac{2}{3} a^{3}$ になります。

$V = a^{3} - \frac{2}{3} a^{3} = \frac{1}{3} a^{3}$

正四面体は立方体の $\frac{1}{3}$ 。切り落とす角の体積を数えるだけで出ます。

1 辺 $2 a$ の正四面体の体積を公式で出しても同じ値になります。 $\frac{2}{12} (2 a)^{3} = \frac{1}{3} a^{3}$ 。

2 つ重ねると星になる

正四面体は 2 通りにとれました。両方を同時に描くと、8 つのとがった角をもつ星形の立体になります。

この形は星形八面体と呼ばれます。2 つの正四面体が互いに貫き合っている形です。

2 つの共通部分をとると、そこに正八面体が現れる。とがった角 8 つを落とした残りが正八面体です。

正多面体が 5 つしかないことを示したユークリッドも、第 13 巻でこれらを球に内接させて辺の長さを比べています^[2]。

正八面体は面の中心から

立方体の 6 つの面の中心を結びます。向かい合う面の中心どうしは結ばず、隣り合う面どうしを結ぶ。

辺は $12$ 本できます。隣り合う 2 面の中心の距離は、どれも $\frac{a}{2}$ で等しい。

だから正八面体です。頂点が $6$ 、辺が $12$ 、面が $8$ で、立方体と頂点と面の数が入れかわっています^[1]。

体積は $\frac{a ^{3}}{6}$ 。立方体の $\frac{1}{6}$ になります。

面の中心から立体を作る操作を双対をとるといいます。

立方体の双対が正八面体、正八面体の双対が立方体。 $V$ と $F$ が入れかわり、 $E$ は変わりません。

体積を並べる

1 辺 $a$ の立方体の中で、3 つの立体の体積を比べます。

立方体そのものが

a^{3}

。

1 つおきの 4 頂点で作った正四面体が

\frac{a ^{3}}{3}

。

6 面の中心で作った正八面体が

\frac{a ^{3}}{6}

。

比は $1 : \frac{1}{3} : \frac{1}{6}$ 、つまり $6 : 2 : 1$ 。分数がきれいに並びます。

星形八面体の共通部分が正八面体なので、2 つの正四面体の重なりが $\frac{a ^{3}}{6}$ 。足して引くと、星形の体積は $\frac{a ^{3}}{3} \times 2 - \frac{a ^{3}}{6} = \frac{a ^{3}}{2}$ です。

正四面体を切りとる

頂点を 1 つおきに選ぶ。体積は立方体の $\frac{1}{3}$

正八面体を切りとる

面の中心を結ぶ。体積は立方体の $\frac{1}{6}$

例：辺の長さを求める

1 辺 $6$ の立方体に入る正四面体の辺は $62 \approx 8.49$ 。面の対角線そのものです。

同じ立方体に入る正八面体の辺は $\frac{6}{2} = 32 \approx 4.24$ 。正四面体の辺のちょうど半分になります。

体積は正四面体が $\frac{216}{3} = 72$ 、正八面体が $\frac{216}{6} = 36$ 。立方体の $216$ と合わせて $6 : 2 : 1$ です。

例：正四面体の高さ

1 辺 $2 a$ の正四面体の高さを求めます。体積が $\frac{a ^{3}}{3}$ と分かっているので、底面積から逆算できます。

底面は 1 辺 $2 a$ の正三角形で、面積は $\frac{3}{4} (2 a)^{2} = \frac{3}{2} a^{2}$ 。

$\frac{1}{3} \times \frac{3}{2} a^{2} \times h = \frac{a ^{3}}{3}$

$h = \frac{2 a}{3} = \frac{2 3}{3} a$ です。立方体の対角線 $3 a$ の $\frac{2}{3}$ にあたります^[3]。

1 辺が $4$ の立方体の頂点から 1 つおきに 4 つ選んで作る正四面体の体積はいくつですか。

$16$
$\frac{64}{3}$
$\frac{32}{3}$

__RESULT__

立方体の体積は $4^{3} = 64$ で、正四面体はその $\frac{1}{3}$ なので $\frac{64}{3}$ です。 $\frac{32}{3}$ は $\frac{1}{6}$ にあたり、こちらは面の中心で作る正八面体の体積になります。

つまずきやすいところ

隣り合う頂点を選んでしまう。1 つおき、つまり辺でつながっていない 4 点です。

正四面体の辺を立方体の辺と同じだと思う。面の対角線なので

2

倍です。

体積の比を

1 : 3

と

1 : 6

で逆に覚える。大きいのは立方体のほうです。

正八面体を頂点から作ろうとする。使うのは面の中心です。

向かい合う面の中心を結んで辺にする。辺になるのは隣り合う面どうしです。

立方体は 3 つの正多面体の入れ物になっている。1 つの図から、体積も辺の長さも一度に読めます。

参考文献

Regular polyhedra. Encyclopedia of Mathematics.

Euclid's *Elements*, Book XIII, Proposition 18. D. E. Joyce, Clark University.

Euclid's *Elements*, Book I, Proposition 47. D. E. Joyce, Clark University.

8 つの頂点から 1 つおきに 4 つ選ぶと、結ぶ 6 本がすべて面の対角線になって正四面体ができます。選び方は 2 通りあり、両方を重ねると星形八面体、その共通部分が正八面体。6 面の中心を結んでも同じ正八面体が出ます。体積は角の三角錐を 4 つ落とす計算で $\frac{a^3}{3}$、正八面体は $\frac{a^3}{6}$。立方体と合わせて $6 : 2 : 1$ ときれいに並びます。正四面体の高さが立方体の対角線の $\frac{2}{3}$ になることまで。