空間で 2 直線が交わらないとき（平行とねじれの位置の分かれ目）

平面では、2 直線は交わるか平行かの 2 通りでした。空間では 3 通りになります。

交わる、平行、ねじれの位置。交わらない場合が 2 つに分かれるところが、平面との違いです。

分かれ目は 1 つだけです。

同じ平面に乗るかどうか

2 直線が同じ平面に乗るとき、その 2 直線は同一平面上にあるといいます。このときは交わるか平行かのどちらか。

同じ平面に乗らないとき、2 直線はねじれの位置にあるといいます。交わらず、しかも平行でもない。

ユークリッドは第 11 巻の 2 番目で、交わる 2 直線は 1 つの平面に収まると述べています^[1]。だから交わる 2 直線がねじれることはありません。

平行の定義にも同一平面上という条件が入ります。交わらないだけでは平行と呼べない、というのが空間での約束です。

立方体で数える

立方体には辺が 12 本あります。2 本の組み合わせは $\frac{12\times 11}{2}=66$ 通り。

平行なものを数えます。辺は 3 つの向きに 4 本ずつ並ぶので、同じ向きどうしの組が $\frac{4\times 3}{2}=6$ 通り。$3$ 方向で $18$ 通りです。

交わるものは頂点で決まります。1 つの頂点に 3 本が集まるので $\frac{3\times 2}{2}=3$ 通り。頂点が 8 つで $24$ 通り。

残りがねじれです。$66-18-24=24$ 通り。ねじれの位置にある組が、交わる組と同じ数だけあります。

例：1 本の辺から見る

辺を 1 本選び、残る 11 本との関係を数えます。

同じ向きの辺が 3 本あり、これが平行。両端の頂点にそれぞれ 2 本ずつ集まるので、交わるのが 4 本。

残る $11-3-4=4$ 本がねじれの位置です。どの辺から見ても内訳は同じになります。

$12\times 4÷2=24$ で、さきほどの数と合いました。2 通りの数え方が一致します。

ねじれの位置にある 2 直線でも角度は決められます。片方を平行に動かして交わらせればよく、その角は動かし方によりません^[2]。

直線と平面の関係

直線と平面の位置関係は 3 通りです。平面に含まれる、1 点で交わる、交わらない。

交わらない場合を、直線と平面が平行であるといいます。平面上のどの直線とも交わらない状態です。

直線が平面に含まれるときは、共有点が無数にある。1 点だけ共有するときが交わる場合です。

交わる場合のうち、平面上のすべての直線と直角に交わるものを、平面に垂直な直線と呼びます^[3]。

平面と平面の関係

平面 2 つでは 2 通りです。交わるか、平行か。

交わるときの共有部分は必ず直線になります。点 1 つだけを共有することはありません^[1]。

交わらない 2 平面を平行といいます。ユークリッドの定義でも、平行な平面とは交わらない平面です^[1]。

直線と直線のときだけ 3 通りに分かれ、直線と平面は 3 通り、平面と平面は 2 通り。組み合わせで数が変わります。

例：三角柱で数える

三角柱の辺は 9 本です。底面の三角形が 2 つで 6 本、縦の辺が 3 本。

縦の 3 本は互いに平行。底面どうしの対応する辺も平行なので、平行な組は $3+3=6$ 通りあります。

同じ底面にある辺どうしは、必ず頂点で交わります。1 つの底面で 3 通り、2 つで 6 通り。縦の辺は両端で 2 本ずつと交わるので、さらに $3\times 4=12$ 通り。

全部で $\frac{9\times 8}{2}=36$ 通り。交わるのが $18$ 通り、平行が $6$ 通り、残る $12$ 通りがねじれです。

つまずきやすいところ

同じ平面に乗るかどうか。空間での位置関係は、この 1 つの問いから枝分かれします。

参考文献