P と C と H の使い分け（記号の意味を一枚で）

$n!$、${}_n{\mathrm{P}}_r$、${}_n{\mathrm{C}}_r$、${}_n{\mathrm{H}}_r$。記号が 4 つあって、どれを使うか迷います。

迷いは、記号を 1 つずつ覚えているせいです。4 つは 2 つの質問で並び、その答えで自動的に決まる。

決めるのは 2 つの質問だけ

1 つ目。選んだあとの順序が答えを変えるか。変えるなら並べる側、変えないなら選ぶ側です。

2 つ目。同じものを 2 度以上えらべるか。えらべるなら重複あり、えらべないなら重複なし。

この 2 つを掛け合わせて 4 通り。記号はその 4 つの箱に 1 つずつ入っています。

階乗はこの表に別枠で入りません。${}_n{\mathrm{P}}_n=n!$ なので、左上の箱の端にあたる。

4 つの記号の意味

$n!$ は $n$ 個すべてを一列に並べる並べ方の総数です^[6]。

${}_n{\mathrm{P}}_r$ は $n$ 個から $r$ 個を選んで並べる総数。$n$ から 1 ずつ下げて $r$ 個の積になります^[2]。

${}_n{\mathrm{C}}_r$ は $n$ 個から $r$ 個を選ぶ総数。${}_n{\mathrm{P}}_r$ を $r!$ で割った値です^[1]。

${}_n{\mathrm{H}}_r$ は $n$ 種類から $r$ 個を、同じ種類を何度えらんでもよいとして選ぶ総数。仕切りを使う数え方から出ます^[3]。

$$n!={}_n{\mathrm{P}}_n,{}_n{\mathrm{P}}_r=\frac{n!}{(n-r)!},{}_n{\mathrm{C}}_r=\frac{n!}{r!(n-r)!},{}_n{\mathrm{H}}_r={}_{n+r-1}{\mathrm{C}}_r$$

同じ数字で 4 つを比べる

$n=3$、$r=2$ でそろえて、4 つの値を並べます。A、B、C の 3 種類から 2 個をとる。

同じ $n=3$、$r=2$ でも 3、6、6、9 と割れます。$n$ と $r$ だけでは答えが決まらない。

$3$ から $2$ では ${}_3{\mathrm{P}}_2$ と ${}_3{\mathrm{H}}_2$ がたまたま同じ 6 になります。数が一致しても意味は別です。

例：数を変えて比べる

$n=4$、$r=2$ にすると差がはっきりします。

${}_4{\mathrm{P}}_2=12$、$4^2=16$、${}_4{\mathrm{C}}_2=6$、${}_4{\mathrm{H}}_2={}_5{\mathrm{C}}_2=10$。

$n=5$、$r=3$ なら 60、125、10、${}_7{\mathrm{C}}_3=35$。重複を許すと大きく増える。

問題文のどこを見るか

順序を判定する言葉と、重複を判定する言葉があります。

順序あり側は、席順、役職、桁の位、並べる、順番に。順序なし側は、選ぶ、組をつくる、同時に、まとめて。

重複あり側は、何度でも、繰り返し、同じものを選んでよい、もとに戻す。重複なし側は、異なる、1 つずつ、戻さない。

例：問題文から記号を選ぶ

「10 人から 3 人の委員長、副委員長、書記を決める」。役職があるので順序あり、同じ人は 2 役できないので重複なし。${}_{10}{\mathrm{P}}_3=720$ 通り。

「10 人から 3 人の委員を選ぶ」。役がないので順序なし、重複なし。${}_{10}{\mathrm{C}}_3=120$ 通り。

「3 桁の暗証番号をつくる。数字は 0 から 9、同じ数字を使ってよい」。桁は順序あり、重複あり。$10^3=1000$ 通り。

「3 種類のアイスから 5 個買う。同じ味を何個買ってもよい」。順序なし、重複あり。${}_3{\mathrm{H}}_5={}_7{\mathrm{C}}_5=21$ 通り。

記号どうしの関係

4 つはばらばらではなく、式でつながっています。

$${}_n{\mathrm{P}}_r={}_n{\mathrm{C}}_r\times r!$$

選んでから並べる、という 2 段に分けた形です。この関係を覚えておくと、片方を忘れても復元できる。

$\mathrm{H}$ は $\mathrm{C}$ に書き直せます。$n$ 種類に $r$ 個を配る仕切りの問題として、$r$ 個の印と $n-1$ 本の仕切りを並べる^[3]。

$${}_n{\mathrm{H}}_r={}_{n+r-1}{\mathrm{C}}_r={}_{n+r-1}{\mathrm{C}}_{n-1}$$

端の値をそろえておく

${}_n{\mathrm{P}}_0=1$、${}_n{\mathrm{C}}_0=1$、${}_n{\mathrm{H}}_0=1$。どれも「何もとらない」の 1 通りです。

${}_n{\mathrm{P}}_1={}_n{\mathrm{C}}_1={}_n{\mathrm{H}}_1=n$。1 個だけなら、順序も重複も関係しません。

${}_n{\mathrm{C}}_n=1$、${}_n{\mathrm{P}}_n=n!$。この 2 つが別の値になる点は、意味を考えれば当たり前です。

例：小さい数で確かめる

記号をとり違えていないかは、$n=3$、$r=2$ で書き出せば分かります。

答えが 3、6、6、9 のどれかになるはず。手で出した値と、記号で出した値を突き合わせる。

$n=2$、$r=2$ でも試せます。${}_2{\mathrm{P}}_2=2$、$2^2=4$、${}_2{\mathrm{C}}_2=1$、${}_2{\mathrm{H}}_2={}_3{\mathrm{C}}_2=3$。

$\mathrm{H}$ の 3 は AA、AB、BB です。書き出せる大きさで一度確かめておくと、以後は迷いません。

よくある誤り

記号を思い出せなくても、条件さえ言えれば式は書けます。順序が意味を持つか、同じものを 2 度えらべるか。まずこの 2 つを声に出す。

参考文献

^[1] が組合せと重複を許す組合せ、^[2] が順列、^[3] が仕切りによる数え方、^[4] と ^[5] が各国語での一覧、^[6] が階乗です。