立体の塗り分けは面の数ではなく向きの数で決まる

正四面体の 4 面を 4 色で塗り分けると 2 通り。立方体の 6 面を 6 色で塗り分けると 30 通りです。

面が 4 つから 6 つへ増えたのに、答えが 15 倍になる。効いているのは面の数ではなく、その立体を何通りに置き直せるかです。

置き直しの数で割る

面に番号が振ってあれば、塗り方は単純に数えられます。$n$ 面に $n$ 色を 1 つずつ塗るなら $n!$ 通り。

ところが立体は持ち上げて回せます。回して同じ見た目になる塗り方は、1 つと数える。

すべての色が違うとき、どの塗り方も回転の数だけ重なります。だから回転の数で割ればよい。

$$\frac{n!}{(\text{回転の数})}$$

回転の数を先に数える

割る数は立体ごとに決まっています^[1]。

立方体と正八面体が同じ 24 になるのは、この 2 つが双対の関係にあるためです^[1]。頂点と面を入れかえると互いに移り合う。

例：正四面体を 4 色で

面に番号があれば $4!=24$ 通り。回転が 12 通りなので、$24÷12=2$ 通りです。

2 通りは鏡に映した関係にあります。回しても重ならず、裏返してはじめて一致する。

固定して数える道筋もあります。1 面を下に置くと 4 通りの選び方が 1 つに重なり、さらに縦の軸まわりに 3 通りの回転が重なる。$24÷(4\times 3)=2$ 通り。

例：立方体を 6 色で

$6!=720$ 通りを 24 で割って 30 通りです。

固定する道筋なら、上の面を先に決めて 6 通りが 1 つに重なり、その面のまわりの回転 4 通りも重なる。$720÷(6\times 4)=30$。

底面を固定してから数える形は、高校の答案でよく使われます。回転の総数を覚えていなくても出せる。

例：正八面体を 8 色で

$8!=40320$ 通り。回転は立方体と同じ 24 通りです。

$$\frac{40320}{24}=1680$$

1680 通り。面が 2 つ増えるだけで、答えは 50 倍以上になります。

例：正三角柱

底面 2 つと側面 3 つ、合わせて 5 面を 5 色で塗ります。

正三角柱の置き直しは 6 通り。縦の軸まわりに 3 通りと、上下をひっくり返す操作を組み合わせた形です。

$$\frac{5!}{6}=\frac{120}{6}=20$$

20 通りになります。

例：正四角錐

底面 1 つと側面 4 つの 5 面を 5 色で塗ります。

底面が 1 つしかないので、ひっくり返す操作はできません。縦の軸まわりの 4 通りだけ。

$$\frac{5!}{4}=30$$

30 通りです。正三角柱と面の数は同じ 5 でも、置き直しの数が違うので答えが変わります。

色が重なると割れなくなる

同じ色を 2 面以上に使うと、回しても見た目が変わらない塗り方が出てきます。そうなると一律には割れません。

正四面体の 4 面を、赤と青の 2 色で塗る場合を見ます。面に番号があれば $2^4=16$ 通り。

$16÷12$ は整数になりません。全面を赤にした塗り方は、どう回しても自分に戻るからです。

例：正四面体を 2 色で

割り算をやめて、直接分類します。赤く塗る面の数で分ければよい。

赤が 0 面、1 面、2 面、3 面、4 面の 5 通りです。同じ枚数なら、どれも回して重ねられます。

答えは 5 通り。数が小さいときは、この分類がいちばん確実になります。

例：サイコロの目の付け方

立方体の 6 面に 1 から 6 を 1 つずつ書きます。回して同じになるものを同じとみなすと 30 通り。

ここに「向かい合う面の和が 7」という決まりを足すと、話が変わります。

1 の面を上に固定すると、6 は下に決まる。次に 2 をどこかの側面に置きますが、回転で同じになるので 1 通りとしてよい。すると 5 は 2 の向かいに決まります。

残る 3 と 4 を左右に振り分けて 2 通り。市販のサイコロには、この 2 種類しかありません。

高校での進め方

出題されるのは、ほとんどが「すべて違う色で塗る」形です。この場合だけ割り算で押し切れる。

同じ色が混ざる問題は、数が小さく作られています。分類して書き出すのが速い。

一般に回して重なるものを数える方法として、バーンサイドの補題があります^[2]。回転ごとに変わらない塗り方を数えて平均をとる形で、高校の範囲では使いません^[3]。

検算のしかた

答えが整数になるかを必ず見ます。整数でなければ、割り算が使えない形です。

回転の数を数え違えていないかも確かめる。底面の選び方と、その軸まわりの回転を掛けた値が、回転の総数と合うはずです。

立方体なら $6\times 4=24$、正四面体なら $4\times 3=12$、正八面体なら $8\times 3=24$。どれも表の値と一致します。

よくある誤り

面の数ではなく、置き直しの数を先に数える。ここさえ間違えなければ、あとは 1 回の割り算で終わります。

参考文献

^[1] が正多面体の回転の数と双対の関係、^[2] と ^[3] が回して重なるものを数える一般の定理、^[4] が順列、^[5] が各国語での整理です。