答えが出たら確かめる、数え上げの誤りはどこで起きるか

方程式なら、出た答えを代入すれば正しいか分かります。数え上げには、その手がありません。

出てくるのは数字が 1 つだけ。だから、確かめる道具と、よくある誤りの型を先に知っておきます。

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いちばん速い確認は、答えが入るべき範囲を先に押さえることです。

場合の数は必ず 0 以上の整数。条件を付けたのに、条件なしの総数より増えることはありません。

この 2 つだけで、多くの誤りがその場で見つかります。

例：総数を超えたら誤り

男子 4 人と女子 4 人の 8 人から 4 人を選びます。男子が 2 人以上になる選び方を数える。

「まず男子 2 人を確保し、残り 2 人を残る 6 人から自由に選ぶ」と考えると、${}_4{\mathrm{C}}_2\times {}_6{\mathrm{C}}_2=6\times 15=90$ 通り。

ところが全体は ${}_8{\mathrm{C}}_4=70$ 通りです。条件を付けた答えが総数を超えている。

原因は数えすぎです。男子 3 人を選ぶ場合が、どの 2 人を先に確保したかで 3 回数えられています。

正しくは男子の人数で場合分けします。$36+16+1=53$ 通り。総数 70 の内側に収まりました。

誤りの型は 6 つ

数え上げの誤りは、たいてい次のどれかに分類できます。型を知っていれば、答案を見返すときの目印になります。

最後の読み違いだけは、計算では見つかりません。問題文に戻るしかない。

数えすぎ

同じものを別々に数えてしまう型です。「先に一部を確保する」やり方で起きやすい。

さきほどの男子の例がそうでした。確保する 2 人を区別しているのに、結果の 4 人組では区別が消えている。

防ぐには、場合分けで数えるか、確保したものが最後まで区別されるかを確かめます。

数え落とし

場合分けの枝が足りない型です。条件の境目で起きます。

0 を含むカードで整数を作る問題で、一の位が 0 の場合を分けないと落ちます。0 を使うと先頭の制限が消えるので、別の枝が要る。

防ぐには、分けた場合の個数を全部足して、条件なしの総数に戻るかを見ます。

例：足して全体に戻す

$1$ から $100$ までで、2、3、5 のいずれかで割り切れる数を区画ごとに数えました。

区画は 7 つあり、それぞれ 27、14、7、13、7、3、3 でした。足すと 74。

どれでも割り切れない数が 26 なので、$74+26=100$ で全体に戻ります。合わなければ、どこかの区画が抜けている。

割り忘れと割りすぎ

順序や区別を扱い損ねる型です。方向が逆の 2 つが対になります。

割り忘れは、組に名前がないのに割らない場合。6 人を 3 人ずつ 2 組に分けて 20 通りと答えるのがこれです。

割りすぎは、人数の違う組まで階乗で割る場合。6 人を 3、2、1 に分けて $60÷6=10$ とするのがこれ。

割りすぎは整数で見つかる

割り算の結果が整数にならなければ、その割り算は使えません。場合の数は必ず整数だからです。

立方体の 6 面を 2 色で塗る問題で $2^6÷24$ を計算すると $2.67$ ほどになります。ここで手が止まる。

同じものを含む円順列で、直線の総数を回転の数で割ると整数にならないことがあります。これも同じ合図です。

引きすぎ

余事象や包除原理で、足し戻しを忘れる型です。

3 つの条件があるのに 2 つぶんしか処理しないと、3 つすべてに当てはまるものを引きすぎます。

答えが負になれば確実に誤り。負にならなくても、区画ごとの和が合わなければ気づけます。

読み違い

計算では見つからない唯一の型です。次の 4 組を、答案を書く前に確かめます。

問題文のこれらの語に印を付けてから解き始めると、あとで戻る手間が減ります。

小さい場合に落とす

いちばん確実な検算です。$n$ を 2 か 3 に減らして、全部書き出す。

公式で出した値と、書き出した個数を突き合わせます。3 つ合えば、まず正しい。

漸化式なら初期値と 3 項目まで、組合せの等式なら $n=4$ か $n=5$ で両辺を計算します。

別の手法で解く

同じ問題を 2 つの道筋で解いて、値を突き合わせます。手間はかかりますが、いちばん強い検算です。

男子 3 人と女子 2 人で女子が隣り合わない並べ方を、すき間法で 72 通り、余事象で 72 通り。両方が合えば安心できます。

対角線を越えない経路も、反射法の式と小さい場合の書き出しで確かめられました。

極端な場合で試す

$n=0$ や $r=0$ を入れて、式が壊れないかを見ます。

${}_n{\mathrm{C}}_0=1$、${}_n{\mathrm{P}}_0=1$、$0!=1$。ここが 0 になる式を書いていたら、どこかが誤っています。

$r=n$ のときも確かめます。${}_n{\mathrm{C}}_n=1$、${}_n{\mathrm{P}}_n=n!$ になるはず。

例：極端な場合で誤りを見つける

差が $d$ 以上の選び方を ${}_{n-(k-1)d}{\mathrm{C}}_k$ と書いたとします。

$d=1$ を入れると ${}_{n-k+1}{\mathrm{C}}_k$ になりますが、$d=1$ は「差が 1 以上」つまり制限なしなので、${}_n{\mathrm{C}}_k$ でなければおかしい。

正しくは ${}_{n-(k-1)(d-1)}{\mathrm{C}}_k$ でした。極端な場合を入れるだけで、$d$ と $d-1$ のとり違えが見つかります。

検算する時間がないとき

すべてを試す時間はありません。優先順位を決めておきます。

まず範囲で挟む。次に整数かを見る。この 2 つは数秒で終わり、しかも重い誤りをよく捕まえます。

余裕があれば、小さい場合に落とす。ここまでやれば、残る誤りは読み違いだけになります。

よくある誤り

答えを出したら、まず範囲に収まっているかを見る。それだけで、重い誤りのほとんどは止められます。

参考文献

^[1] が組合せの公式と端の値、^[2] が引いて足し戻す形、^[3] が場合分けして足す規則、^[4] が区別の有無による分類、^[5] が各国語での整理です。