集合の要素の個数を数える｜個数定理とベン図の使い方

40 人のクラスで、数学が好きな人が 25 人、英語が好きな人が 18 人。両方好きな人は何人いるか。

この形の問題は、要素の個数を集合の記号で書き、ベン図に写すと片づきます。数え上げの道具というより、整理の道具です。

集合の要素の個数

有限集合 $A$ に含まれる要素の個数を $n(A)$ と書きます。空集合なら $n(\varnothing )=0$。

2 つの集合が重ならないとき、和集合の個数は足し算になります。共通部分が空のときに限る。

$$n(A\cup B)=n(A)+n(B)(A\cap B=\varnothing )$$

重なりがあるときは、そのぶんを引きます。これが個数定理です^[1]。

$$n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)$$

なぜ引くのか

$A$ と $B$ を足すと、両方に入っている要素を 2 回数えています。1 回ぶんを返す必要がある。

冒頭の問題を解きます。全員が数学か英語のどちらかを好きだとすると、$n(A\cup B)=40$。

$$40=25+18-n(A\cap B)$$

$n(A\cap B)=3$ 人です。$25+18=43$ が 40 を 3 だけ超えていて、その超過が重なりにあたる。

補集合の個数

全体集合を $U$ とし、$A$ に入らない要素の集合を $\overline{A}$ と書きます。

$$n(\overline{A})=n(U)-n(A)$$

「〜でない」「少なくとも」と書かれた問題では、この式が近道になります。

ド・モルガンの法則を使うと、両方に入らない個数も出せる。

$$n(\overline{A}\cap \overline{B})=n(U)-n(A\cup B)$$

例：どちらでもない人を数える

40 人のクラスで、数学が好きな人が 25 人、英語が好きな人が 18 人、両方好きな人が 10 人とします。

まず和集合を出します。$25+18-10=33$ 人。

どちらも好きでない人は $40-33=7$ 人です。全体から和集合を引くだけ。

4 つの区画に分けて考える

2 つの集合があると、全体は 4 つの区画に分かれます。両方、$A$ だけ、$B$ だけ、どちらでもない。

表に書くと、行と列の合計から空欄が埋まります。ベン図より計算しやすい場面が多い。

分かっている数を書き込んで、行と列の合計で残りを出す。連立方程式を立てなくても片づきます。

3 つの集合の場合

集合が 3 つになると、引きすぎたぶんを足し戻します^[2]。

$$n(A\cup B\cup C)=n(A)+n(B)+n(C)-n(A\cap B)-n(B\cap C)-n(C\cap A)+n(A\cap B\cap C)$$

3 つすべてに入る要素は、前半で 3 回足され、真ん中で 3 回引かれて 0 回になっています。だから最後に 1 回足す。

例：3 つの部活

50 人の生徒に、野球、サッカー、テニスの経験をたずねました。

野球が 28 人、サッカーが 22 人、テニスが 15 人。野球とサッカーの両方が 12 人、サッカーとテニスが 8 人、テニスと野球が 7 人。3 つとも経験があるのは 4 人。

$$28+22+15-12-8-7+4=42$$

少なくとも 1 つ経験がある人が 42 人。どれも経験がない人は $50-42=8$ 人です。

例：区画ごとに出す

同じ問題で、野球だけを経験した人を数えます。

野球の 28 人から、サッカーとの重なり 12 人とテニスとの重なり 7 人を引く。ただし 3 つとも経験がある 4 人を 2 回引いているので、1 回足し戻します。

$$28-12-7+4=13$$

13 人です。同じ手順でサッカーだけが 6 人、テニスだけが 4 人。

3 つのうち 2 つだけの区画は、$12-4=8$、$8-4=4$、$7-4=3$。全部を足すと $13+6+4+8+4+3+4=42$ で、和集合と合いました。

例：倍数の個数

$1$ から $200$ までの整数で、6 の倍数または 8 の倍数を数えます。

6 の倍数は $200÷6$ の商で 33 個、8 の倍数は 25 個。両方に入るのは 6 と 8 の最小公倍数 24 の倍数で、8 個。

$$33+25-8=50$$

50 個です。重なりを「$6\times 8=48$ の倍数」としないよう気をつけます。使うのは最小公倍数のほう。

検算のしかた

区画ごとの人数を全部足して、全体に戻るかを確かめます。合わなければどこかが誤っている。

負の数が出たときも誤りの合図です。人数が負になることはありません。

$n(A\cap B)$ が $n(A)$ や $n(B)$ を超えていないかも見ます。重なりは、どちらの集合より大きくならない。

よくある誤り

区画に分けて数を埋め、最後に合計が全体に戻るかを見る。この 2 手順で、たいていの問題は片づきます。

参考文献

^[1] と ^[2] が個数定理と 3 つ以上への拡張、^[3] と ^[4] が各国語での定式化、^[5] が足し算が成り立つ条件です。