nCr はなぜ nPr を割った形なのか？選ぶと並べるの違い

5 人から 3 人を選んで並べると 60 通り。選ぶだけなら 10 通りです。差は 6 倍で、これは $3!=6$ にあたる。

並べる数を、並べ方の数で割る。この 1 回の割り算が、順列と組合せを分けています。

選ぶことと並べることを分ける

${}_5{\mathrm{P}}_3=60$ を書き出すと、同じ 3 人組が何度も現れます。

A、B、C の 3 人を選んだ場合を拾うと、ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBA の 6 通り。どれも顔ぶれは同じです。

選ぶだけなら、この 6 通りを 1 つと数えたい。だから $3!$ で割る。

図の左が並べ方、右が組です。どの組にも並べ方が $3!$ 通りずつぶら下がっている。

重なる回数がどの組でも同じ 6 なので、一律に割れます。ここがそろっていないと割り算は使えません。

組合せの公式

$n$ 個から $r$ 個を選ぶ選び方の総数を ${}_n{\mathrm{C}}_r$ と書きます^[1]。

$${}_n{\mathrm{C}}_r=\frac{{}_n{\mathrm{P}}_r}{r!}=\frac{n!}{r!(n-r)!}$$

分母の $r!$ が選んだものの並べ替え、$(n-r)!$ が選ばなかったものの並べ替えにあたる。両方を割り落としています。

例：5 から 3 を選ぶ

$${}_5{\mathrm{C}}_3=\frac{5\times 4\times 3}{3\times 2\times 1}=10$$

分子は ${}_5{\mathrm{P}}_3$ の 3 個の積、分母は $3!$ です。掛ける個数がそろっている点に注目する。

書き出しても確かめられます。ABC、ABD、ABE、ACD、ACE、ADE、BCD、BCE、BDE、CDE の 10 個。

計算のしかた

分子は $n$ から 1 ずつ下げて $r$ 個、分母は $r$ から 1 ずつ下げて $r$ 個。上下の個数が必ずそろいます。

$${}_8{\mathrm{C}}_3=\frac{8\times 7\times 6}{3\times 2\times 1}=56$$

先に約分すると軽くなる。$6÷3=2$、$8÷2=4$ と崩してから掛けます。

選ばないほうを数えても同じ

$10$ 個から 8 個を選ぶのは、選ばない 2 個を決めるのと同じことです。

$${}_{10}{\mathrm{C}}_8={}_{10}{\mathrm{C}}_2=45$$

一般に ${}_n{\mathrm{C}}_r={}_n{\mathrm{C}}_{n-r}$ が成り立ちます^[1]。公式の分母が $r!(n-r)!$ という対称な形をしているので、$r$ と $n-r$ を入れかえても値が変わらない。

計算では、小さいほうに直してから進めます。${}_{20}{\mathrm{C}}_{17}$ は ${}_{20}{\mathrm{C}}_3=1140$ と読み替える。

選ぶ側と残す側は、いつでも 1 対 1 に対応します。だから個数が等しい。

例：くじを引く

10 本のくじから 3 本を引きます。引く順序を気にしないなら ${}_{10}{\mathrm{C}}_3=120$ 通り。

順序を気にするなら ${}_{10}{\mathrm{P}}_3=720$ 通りです。$720÷6=120$ で、$3!$ ぶんの差になっている。

問題文に「同時に」「まとめて」とあれば組合せ、「1 本ずつ順に」で並びが意味を持つなら順列。ここで読み分けます。

例：委員の選び方

10 人から 3 人の委員を選びます。役職がなければ ${}_{10}{\mathrm{C}}_3=120$ 通り。

委員長、副委員長、書記と役職が付くなら、順序が意味を持ちます。${}_{10}{\mathrm{P}}_3=720$ 通り。

同じ 3 人でも、誰がどの役かで別の結果になる。役職の有無だけで答えが 6 倍変わります。

例：組合せから順列を組み立てる

順列を、選んでから並べる 2 段に分けても同じ値になります。

$10$ 人から 3 人を選んで ${}_{10}{\mathrm{C}}_3=120$ 通り、その 3 人を並べて $3!=6$ 通り。

$120\times 6=720$ で、${}_{10}{\mathrm{P}}_3$ と一致しました。次の関係が成り立っている。

$${}_n{\mathrm{P}}_r={}_n{\mathrm{C}}_r\times r!$$

例：特定のものを含む選び方

8 人から 3 人を選びます。A を必ず含む選び方はいくつか。

A は決まっているので、残り 2 人を A 以外の 7 人から選ぶ。${}_7{\mathrm{C}}_2=21$ 通りです。

A を含まない選び方は ${}_7{\mathrm{C}}_3=35$ 通り。足すと $21+35=56={}_8{\mathrm{C}}_3$ になり、全体に戻ります。

この分け方が、二項係数の基本の等式にあたる。

$${}_n{\mathrm{C}}_r={}_{n-1}{\mathrm{C}}_{r-1}+{}_{n-1}{\mathrm{C}}_r$$

特定の 1 人を含むか含まないかで分ける。パスカルの三角形で上の 2 数を足す規則が、この式です^[1]。

例：男女から選ぶ

男子 6 人、女子 4 人から 3 人を選びます。男子 2 人と女子 1 人になる選び方を数える。

男子の選び方が ${}_6{\mathrm{C}}_2=15$ 通り、女子が ${}_4{\mathrm{C}}_1=4$ 通り。掛けて 60 通りです。

「少なくとも 1 人は女子」なら、全体 ${}_{10}{\mathrm{C}}_3=120$ から男子だけの ${}_6{\mathrm{C}}_3=20$ を引いて 100 通り。

端の値

${}_n{\mathrm{C}}_0=1$ です。1 つも選ばない選び方が 1 通りある、という約束になります。

${}_n{\mathrm{C}}_n=1$ も同じ理由。全部選ぶ選び方は 1 通りしかありません。

${}_n{\mathrm{C}}_1=n$ で、これは 1 個ずつ選ぶだけ。どれも公式に $0!=1$ を当てはめれば出ます。

よくある誤り

順序が答えを変えるかどうか。判断はこの一点だけです。変えないなら、並べ方のぶんで割る。

参考文献

^[1] が組合せの定義と等式、^[2] が順列との関係、^[3] から ^[5] が各国語での公式のまとめです。