並べ方の総数と階乗〜nPr はどこから出てくるのか

5 人を一列に並べる並べ方は $5\times 4\times 3\times 2\times 1=120$ 通りです。掛ける数が 1 つずつ減っていく。

この形の掛け算に階乗という名前が付いています。一部だけを並べるときの $\mathrm{P}$ も、同じ掛け算を途中で止めたものにすぎない。

並べる操作を段に分ける

並べる作業は、先頭から順に人を決めていく作業だと見ます。段ごとに何通りあるかを数える。

5 人なら、先頭に立てるのは 5 人。先頭が決まると、2 番目に立てるのは残った 4 人です。

3 番目は 3 人、4 番目は 2 人、最後は 1 人しか残りません。段ごとの本数がそろっているので、掛け算でつながる。

図の空いた席に書いてある数が、その席に座れる人数です。埋まるたびに候補が 1 人ずつ減っていく。

階乗の定義

$1$ から $n$ までの整数をすべて掛けた値を、$n$ の階乗といいます。記号は $n!$ と書く^[1]。

$$n!=n\times (n-1)\times \cdots \times 2\times 1$$

$3!=6$、$4!=24$、$5!=120$。$n$ 人を一列に並べる並べ方が、ちょうど $n!$ 通りです^[2]。

前の値から作る形でも書けます。

$$n!=n\times (n-1)!$$

$5!=5\times 4!=5\times 24=120$。この関係は、あとで $0!$ を決めるときにも効いてきます。

0 の階乗を 1 とする理由

$0!$ は 1 と決められています^[3]。何も掛けていないのに 1 になるのは、はじめは奇妙に見える。

理由は 2 つあります。1 つは、並べるものが 0 個のときの並べ方が「何もしない」の 1 通りだから。

もう 1 つは、$n!=n\times (n-1)!$ を $n=1$ で成り立たせるため。$1!=1\times 0!$ なので、$0!=1$ でなければ $1!=1$ に合いません。

階乗はすぐに大きくなる

$n$ が少し増えるだけで、値は桁違いに増えます。

$10!=3628800$ で 7 桁、$20!$ は 19 桁になります。トランプ 1 組の並べ方 $52!$ は 68 桁。

大きな階乗をそのまま計算する場面は、高校ではほとんどありません。先に約分してから掛けます。

一部だけを並べる

$n$ 人から $r$ 人を選んで並べる並べ方を ${}_n{\mathrm{P}}_r$ と書きます。段ごとに 1 ずつ減る掛け算を、$r$ 段で止めた形です。

$${}_n{\mathrm{P}}_r=n\times (n-1)\times \cdots \times (n-r+1)$$

掛ける個数は $r$ 個。最後の因子が $n-r+1$ になるところを、よく間違えます。

階乗で書き直すと分数の形になります^[4]。

$${}_n{\mathrm{P}}_r=\frac{n!}{(n-r)!}$$

分母の $(n-r)!$ が、並べずに残した人たちの並べ方にあたる。それを割って消しています。

例：8 人から 3 人を選んで並べる

掛ける個数は 3 個。$8$ から 1 つずつ下げる。

$${}_8{\mathrm{P}}_3=8\times 7\times 6=336$$

階乗の式でも確かめます。$\frac{8!}{5!}=\frac{40320}{120}=336$。同じ値です。

分数の形で計算するときは、$8!$ を最後まで展開してはいけません。$5!$ と約分して $8\times 7\times 6$ だけ残す。

例：全員を並べる場合と 0 人選ぶ場合

$r=n$ のとき、${}_n{\mathrm{P}}_n=\frac{n!}{0!}=n!$ になります。ここで $0!=1$ が効いている。

$r=0$ のときは ${}_n{\mathrm{P}}_0=\frac{n!}{n!}=1$。「1 人も並べない」という並べ方が 1 通りある、という約束です。

$r=1$ なら ${}_n{\mathrm{P}}_1=n$。どれも定義から素直に出ます。

例：数字カードで 3 桁の整数

1、2、3、4、5 のカードから 3 枚を選んで 3 桁の整数を作ります。同じカードは使えない。

百の位が 5 通り、十の位が 4 通り、一の位が 3 通りです。${}_5{\mathrm{P}}_3=60$ 個。

0 が混ざると事情が変わります。0、1、2、3、4 なら、百の位に 0 を置けないので $4\times 4\times 3=48$ 個。

制限のある位から先に決める。ここは階乗の式に頼らず、段ごとに数えるほうが確実です。

例：特定の人を含む並べ方

5 人から 3 人を選んで並べます。A が必ず入る並べ方はいくつか。

A の座る席を先に決めて 3 通り。残り 2 席には、A 以外の 4 人から 2 人を並べて ${}_4{\mathrm{P}}_2=12$ 通り。

$3\times 12=36$ 通りです。全体 60 通りから A を含まない ${}_4{\mathrm{P}}_3=24$ 通りを引いても 36 になる。

2 通りの道筋が合ったので、まず正しい。制限のある要素を先に置く手は、ここでも効きます。

例：隣り合う 2 人がいる並べ方

6 人を並べ、A と B は必ず隣り合うとします。

A と B を 1 つの塊とみなすと、塊 1 つと残り 4 人で 5 つのものを並べる。$5!=120$ 通り。

塊の中で A と B が入れ替わるので 2 倍。$120\times 2=240$ 通りです。

塊を作ると、並べる個数が 1 つ減る。減った個数で階乗を計算し、最後に塊の中の並べ替えを掛けます。

計算の工夫

階乗の分数は、展開せずに約分します。$\frac{10!}{7!}$ なら $10\times 9\times 8=720$。

分母のほうが大きい場合は、式の立て方を疑います。${}_n{\mathrm{P}}_r$ で $r>n$ となる場面はありません。

大きな数を扱うときは、掛ける前に約分できる因子を探す。$\frac{12!}{9!\times 3!}$ なら、まず $\frac{12\times 11\times 10}{6}$ に直してから計算します。

例：3 桁の暗証番号と比べる

同じ数字を何度でも使ってよい場合は、階乗も $\mathrm{P}$ も出てきません。各桁が独立に 10 通りで $10^3=1000$ 通り。

使えない場合は ${}_{10}{\mathrm{P}}_3=720$ 通りです。280 だけ減っている。

同じものを使えるかどうかで、掛ける数が減るか減らないかが変わる。ここが $\mathrm{P}$ を使う場面の目印になります。

よくある誤り

階乗も $\mathrm{P}$ も、段ごとに何通りあるかを掛けているだけです。公式を思い出せないときは、席を並べて 1 段ずつ数えれば同じ値に着きます。

参考文献

^[1] が階乗の定義と性質、^[2] と ^[3] が各国語での定義と $0!$ の扱い、^[4] が順列の公式、^[5] が基本の数え方の整理です。