円卓で向かい合う席と交互の席｜条件つきの円順列

6 人が円卓に座る座り方は $5!=120$ 通り。A と B が隣り合うのは 48 通り、向かい合うのは 24 通りです。

円では、1 人を固定してしまえば残りは直線と同じように扱えます。条件を読むときも、固定した人から見た位置に言い直す。

1 人を固定する

円順列の総数が $(n-1)!$ になるのは、回転して重なる並びを同じと数えるからです^[1]。

$n$ 通りの回転がどれも同じ座り方を指すので、$n!÷n=(n-1)!$ になる。

計算のうえでは、誰か 1 人の席を固定してしまうのが早い。固定した人から時計回りに見れば、残り $n-1$ 人の並べ方を数えるだけです。

例：2 人が隣り合う

6 人のうち A と B が隣り合う座り方を数えます。

A と B を 1 つの塊とみなすと、円卓に座るのは塊 1 つと残り 4 人で 5 つのもの。円順列は $(5-1)!=24$ 通りです。

塊の中で A と B の左右が入れ替わるので 2 倍。$24\times 2=48$ 通り。

固定して数える道筋でも確かめます。A を固定すると、B は左右 2 席のどちらか。残り 4 人を 4 席に並べて $4!=24$ 通りで、$2\times 24=48$。

例：2 人が隣り合わない

全体から引きます。$120-48=72$ 通り。

A を固定して直接数えることもできる。B が座れるのは、A の両隣を除く 3 席なので 3 通り。残り 4 人が $4!=24$ 通りで $72$ 通りです。

例：向かい合う

席が偶数のときだけ、向かいの席が決まります。6 人なら A の 3 つ先。

A を固定すると B の席は 1 通りに決まる。残り 4 人を並べて $4!=24$ 通りです。

全体 120 通りのうち 24 通りなので、5 分の 1。A から見て B が座れる席が 5 つあり、そのうち 1 つが向かいだから、と読んでも同じ値になります。

例：3 人が続いて座る

6 人のうち A、B、C が 3 人続けて座る座り方を数えます。

3 人を 1 つの塊にすると、円卓に座るのは塊 1 つと残り 3 人で 4 つ。円順列は $(4-1)!=6$ 通り。

塊の中で 3 人が並べ替わるので $3!=6$ 倍。$6\times 6=36$ 通りです。

例：夫婦が隣り合う

夫婦 3 組の 6 人が円卓に座り、どの夫婦も隣り合うようにします。

夫婦をそれぞれ塊にすると、3 つの塊の円順列で $(3-1)!=2$ 通り。各塊の中で 2 通りずつ入れ替わるので $2^3=8$ 倍。

$2\times 8=16$ 通りになります。塊が複数あっても、手順は 1 組のときと変わりません。

交互に座る

男女が交互に座る条件は、円ではさらにきつくなります。人数が同じでないと成立しない。

直線なら男 4 人と女 3 人でも交互に並べますが、円は端がつながっているため、男女の数が一致していなければどこかで同じ性別が隣り合います。

例：男 3 人と女 3 人が交互

男子の 1 人を固定します。交互という条件から、男子の席 3 つと女子の席 3 つが決まる。

残る男子 2 人を 2 席に並べて $2!=2$ 通り。女子 3 人を 3 席に並べて $3!=6$ 通り。

$$2\times 6=12$$

12 通りです。式で書くと $(3-1)!\times 3!$ になる。男子だけで円順列をつくり、そのすき間に女子を並べる形と読めます。

例：男女 4 人ずつが交互

同じ手順です。男子 4 人の円順列が $(4-1)!=6$ 通り、女子 4 人を 4 つのすき間に並べて $4!=24$ 通り。

$6\times 24=144$ 通りになります。

例：交互かつ特定の 2 人が隣り合う

男 3 人と女 3 人が交互に座り、男の A と女の X が隣り合うようにします。

A を固定すると、A の両隣は女子の席です。X をそのどちらかに置いて 2 通り。

残る女子 2 人を残り 2 席に並べて $2!=2$ 通り、男子 2 人も $2!=2$ 通り。

$2\times 2\times 2=8$ 通りです。交互の 12 通りのうち 8 通りが条件を満たす。

例：両隣が決まっている

8 人が円卓に座り、A の両隣が B と C になる座り方を数えます。

A を固定します。両隣の 2 席に B と C を並べて $2!=2$ 通り。残り 5 人を 5 席に並べて $5!=120$ 通り。

$2\times 120=240$ 通りです。全体 $7!=5040$ 通りの 21 分の 1 にあたる。

例：向かい合わない

6 人で A と B が向かい合わない座り方は、$120-24=96$ 通り。

A を固定して直接数えると、B が座れるのは向かいを除く 4 席。残り 4 人を並べて $4\times 24=96$ 通りです。

席に番号があると円順列ではなくなる

円卓でも、席に 1 から 6 の番号が振ってあれば、回転した座り方は別のものになります。

そのときは $6!=720$ 通り。円順列の 120 通りのちょうど 6 倍です。

問題文に番号や、入り口からの位置のような目印があるかを先に確かめる。目印があれば、ただの一列の並べ方と同じになります。

よくある誤り

まず 1 人を固定する。そのあと、条件を「固定した人から見てどの席か」に言い直せば、あとは直線の問題と同じです。

参考文献

^[1] が円順列の公式、^[2] が円に並べる数え方の一般論、^[3] が順列、^[4] が段ごとに掛ける数え方、^[5] が各国語での整理です。