背の順だけは崩さない、順序が決まっているときの並べ方

6 人を一列に並べます。ただし A、B、C の 3 人は、この順に左から現れなければならない。並び方は 120 通りです。

$6!=720$ を $3!=6$ で割った値になっています。順序を 1 つに固定すると、その並べ替えのぶんだけ減る。

順序が決まっている人たちは並べ替えない

3 人の順序が指定されると、その 3 人の間では並べ方が 1 通りに縛られます。ふつうなら $3!=6$ 通りあるところ。

残りの 3 人は自由なので、全体の並べ方も 6 分の 1 になります。

$$\frac{6!}{3!}=\frac{720}{6}=120$$

割るのは、指定された人数の階乗です。何人が指定されているかだけで決まる。

席を選ぶ形で数え直す

割り算を使わない道筋もあります。3 人が座る席を先に選んでしまう方法です。

6 席から A、B、C が座る 3 席を選びます。${}_6{\mathrm{C}}_3=20$ 通り。

選んだ 3 席に誰を座らせるかは、順序が決まっているので 1 通りしかありません。左から A、B、C と入れるだけ。

残る 3 席に、残る 3 人を並べて $3!=6$ 通り。$20\times 6=120$ 通りです。

割り算の答えと一致しました。どちらの道でも同じ値に着く。

例：背の順に並ぶ

7 人のうち、背の高い順が決まっている 4 人がいます。その 4 人が左から背の高い順に並ぶ並べ方はいくつか。

$$\frac{7!}{4!}=\frac{5040}{24}=210$$

席を選ぶ形なら、${}_7{\mathrm{C}}_4=35$ 通りの席の選び方に、残り 3 人の並べ方 $3!=6$ を掛けて 210 通り。

例：指定される組が 2 つある場合

8 人を並べます。A、B、C はこの順、D、E も この順に現れるとします。

指定は 2 組ありますが、割り算は続けて 2 回。A、B、C のぶんで $3!$、D、E のぶんで $2!$ で割ります。

$$\frac{8!}{3!\times 2!}=\frac{40320}{12}=3360$$

2 つの組に共通の人がいないので、割り算はそれぞれ独立に効きます。

例：隣り合う指定と混ぜる

6 人を並べ、A、B、C はこの順に現れ、さらに D と E は隣り合うとします。

D と E を 1 つの塊とみなすと、並べるものは塊 1 つと A、B、C、F の 5 つ。$5!=120$ 通り。

そのうち A、B、C の順序が正しいのは 6 分の 1 なので $120÷6=20$ 通り。塊の中で D と E が入れ替わって 2 倍。

$20\times 2=40$ 通りです。塊を作ってから割る、という順番になります。

順序が「決まっている」の意味

指定されるのは順序であって、位置ではありません。A、B、C が隣り合う必要はない。

$6$ 人の並び $\mathrm{A}\mathrm{D}\mathrm{B}\mathrm{E}\mathrm{C}\mathrm{F}$ は条件を満たします。A、B、C の間に他の人が入っていても、左から見た順番さえ合っていればよい。

例：一部だけをとり出す並べ方

10 人から 5 人を選んで並べます。その中に A、B が含まれるなら、A は B より左に来るとします。

まず A と B の両方を含む場合を数えます。残り 3 人を 8 人から選んで並べる形で、5 席のうち A と B の席を選んで ${}_5{\mathrm{C}}_2=10$ 通り、残り 3 席に 8 人から 3 人を並べて ${}_8{\mathrm{P}}_3=336$ 通り。$10\times 336=3360$ 通り。

A と B の少なくとも一方を含まない場合は、順序の条件が効きません。全体 ${}_{10}{\mathrm{P}}_5=30240$ 通りから、両方を含む場合を引く。

両方を含むのは、条件なしなら ${}_5{\mathrm{P}}_2\times {}_8{\mathrm{P}}_3=20\times 336=6720$ 通り。だから含まない場合は $30240-6720=23520$ 通り。

合計は $3360+23520=26880$ 通りです。全体から、A が B より右にある場合だけを引いた形にもなっている。

対称性で半分にする

2 人の順序が問われる問題は、割り算より対称性で考えるほうが速いことがあります。

A が B より左にある並びと、右にある並びは 1 対 1 に対応します。A と B を入れ替えれば移り合うため。

だから、条件を付けない並べ方のちょうど半分。$6!$ の並びなら $720÷2=360$ 通りです。

3 人以上でも同じ理屈で、$3!$ 通りの順序が均等に現れるので 6 分の 1 になります。

例：同じものがある場合

赤玉 2 個、白玉 1 個、青玉 3 個を並べます。青玉は区別しないので、順序の指定は要りません。

同じものを含む順列として $\frac{6!}{2!1!3!}=60$ 通り。

順序の指定と、同じものを含む順列は、じつは同じ割り算をしています。区別しないことと、順序を固定することが同じ結果を生む。

区別できる 6 個を並べてから、赤 2 個の並べ替え $2!$ と青 3 個の並べ替え $3!$ で割る。指定された順序で割るのと形が変わりません。

例：円形に並ぶ場合

6 人が円卓に座り、A、B、C が時計回りにこの順で座るとします。

円順列の総数は $(6-1)!=120$ 通り。ここで割る数が直線と変わります。

円では回転を同じと見るので、3 人の巡回する順序は $(3-1)!=2$ 通りしかありません。A から時計回りに読んで ABC か ACB のどちらかです。

そのうち 1 つを指定するので $120÷2=60$ 通り。直線なら $3!$ で割るところが、円では 2 で割る形になります。

よくある誤り

順序を指定されたら、その人数の階乗で割る。理由が思い出せないときは、席を先に選ぶ形に書き直せば見えてきます。

参考文献

^[1] が順列と多重集合の順列、^[2] が組合せの公式、^[3] が段ごとに掛ける数え方、^[4] と ^[5] が各国語での整理です。