両端と交互 - 位置に条件がある並べ方は先に席を決める

男子 3 人と女子 3 人が一列に並びます。両端が男子になる並び方は 144 通り、男女が交互になる並び方は 72 通り。

どちらも、位置に条件が付いた問題です。条件のある席から先に埋める。この順番を守るだけで、場合分けがほとんど消えます。

位置の条件は先に処理する

並べる問題では、自由な席から埋めたくなります。しかし条件のある席を後回しにすると、残りの候補が場合によって変わってしまう。

先に条件のある席を決めれば、残りは自由な並べ替えになります。掛け算だけで済む形に持ち込める。

例：両端が男子

男子 3 人と女子 3 人の 6 人を並べ、両端をどちらも男子にします。

まず両端に入る男子 2 人を決めて並べます。3 人から 2 人を選んで左右に置くので ${}_3{\mathrm{P}}_2=6$ 通り。

残る 4 人を中の 4 席に並べて $4!=24$ 通り。

$$6\times 24=144$$

144 通りです。両端の男女比だけが条件なので、中身は自由に並べられます。

例：両端が女子

同じ 6 人で、両端をどちらも女子にします。人数が同じなので、答えも同じ 144 通り。

両端が「男子と女子で 1 人ずつ」なら、左右どちらに男子が来るかで 2 通り。男子の選び方が 3 通り、女子も 3 通りで $2\times 3\times 3=18$ 通り。

中の 4 人を並べて $4!=24$ 通り。$18\times 24=432$ 通りです。

全体 $6!=720$ 通りのうち、両端が男男の 144、女女の 144、男女ちがいの 432 を足すと 720 に戻ります。

例：特定の人を端に置く

6 人のうち、A が必ず左端に来る並び方を数えます。

A の位置は決まっているので、残り 5 人を並べるだけ。$5!=120$ 通り。

A が両端のどちらかなら、$2\times 120=240$ 通り。全体の 3 分の 1 にあたります。

A が端に来ない並び方は $720-240=480$ 通り。中の 4 席のどれかに A を置くと考えても $4\times 5!=480$ で一致する。

交互に並べる

男女が交互になる条件は、両端よりきつくなります。1 人決まると、以降の位置がすべて決まってしまう。

男子 3 人と女子 3 人なら、男から始めるか女から始めるかの 2 通り。始まりが決まれば、男の席 3 つと女の席 3 つが確定します。

男子の並べ方が $3!=6$ 通り、女子も $3!=6$ 通り。

$$2\times 6\times 6=72$$

72 通りです。人数がそろっているときだけ、始まりが 2 通りになる。

人数がずれると型が 1 つになる

男子 4 人と女子 3 人では、交互に並べる型が 1 つしかありません。

7 席のうち 1、3、5、7 番目が男子、2、4、6 番目が女子。男から始めるしかない。

$4!\times 3!=24\times 6=144$ 通りです。

男子 5 人と女子 3 人だと、交互に並べること自体ができません。多いほうが 1 人多いときだけ成立する。

例：女子だけが交互に来なくてよい場合

「女子どうしが隣り合わない」は、交互より弱い条件です。男子が多ければ、女子の間に男子が 2 人入ってもよい。

男子 4 人と女子 3 人で数えます。男子を先に並べて $4!=24$ 通り、そのすき間 5 か所から 3 か所を選んで女子を並べて ${}_5{\mathrm{P}}_3=60$ 通り。

$24\times 60=1440$ 通り。交互の 144 通りより 10 倍多くなります。

交互は「隣り合わない」の中でも、いちばんきつい並び方にあたる。

例：偶数番目が女子

6 席のうち、2、4、6 番目を女子にします。これは交互の片方の型そのもの。

女子 3 人を 3 席に並べて $3!=6$ 通り、男子 3 人を残り 3 席に並べて $3!=6$ 通り。$36$ 通りです。

交互の 72 通りのちょうど半分。男から始める型と女から始める型のうち、片方だけを数えたことになります。

例：席に番号がある場合

1 から 6 の番号が付いた席に 6 人が座ります。1 番と 6 番に A と B が座る座り方はいくつか。

A と B の座り方が 2 通り、残り 4 人が残り 4 席に座って $4!=24$ 通り。$48$ 通りです。

一列に並べる問題と、番号付きの席に座る問題は同じもの。席に番号があると考えれば、位置の条件が読みやすくなります。

例：3 種類が交互

赤、青、白の玉が 2 個ずつあり、同じ色が隣り合わないように並べます。交互という言葉は使えませんが、考え方は同じ。

6 席の並びの型を先に数えます。同じ色が隣り合わない並びは、書き出すと 30 通り。

全体 $\frac{6!}{2!2!2!}=90$ 通りのうち、赤が隣り合うのが $\frac{5!}{2!2!}=30$ 通り。青も白も同じく 30 通り。

2 色が隣り合うのが $\frac{4!}{2!}=12$ 通りで、その組が 3 通り。3 色とも隣り合うのが $3!=6$ 通り。

$$90-(30\times 3)+(12\times 3)-6=90-90+36-6=30$$

30 通りです。条件がきついときは、包除原理で引き算する形になります。

例：端に条件と隣接条件が重なる

6 人を並べ、両端が男子で、しかも女子 3 人が隣り合わないようにします。

まず両端に男子を置いて ${}_3{\mathrm{P}}_2=6$ 通り。中の 4 席には、残る男子 1 人と女子 3 人が入ります。

4 席のうち 3 席が女子になるので、どう置いても女子どうしが隣り合う。4 席から 3 席を隣り合わないように選ぼうとすると、$4-3+1=2$ か所からは 3 席を選べません。

答えは 0 通りです。条件が重なると成立しない場合もあるので、席の数を先に確かめます。

よくある誤り

条件のある席を先に埋め、残りを自由に並べる。この 2 段で書けなければ、条件がきつすぎて 0 通りになっていないかを疑います。

参考文献

^[1] が順列の公式、^[2] が段ごとに掛ける数え方、^[3] が引き算で数える形、^[4] と ^[5] が各国語での整理です。