正多角形の頂点でつくる三角形 - 直角になるのはどんなときか

正十二角形の頂点から 3 点を選ぶと、三角形が 220 個できます。そのうち直角三角形が 60 個、鈍角三角形が 120 個、鋭角三角形が 40 個。

形の内訳は、頂点どうしの間隔だけで決まります。角度を測らずに、間隔を数えるだけで分類できる。

弧の大きさが角を決める

正多角形の頂点は、すべて 1 つの円周上に並んでいます。だから円周角の定理が使えます^[1]。

円周角は、それが見込む弧に対する中心角の半分になる。弧が大きいほど、向かい合う角も大きくなります。

3 点を選ぶと、円周は 3 つの弧に分かれます。それぞれの弧が、向かい合う頂点の角に対応する。

間隔で書き表す

正 $n$ 角形の頂点を円周に沿って番号で追い、選んだ 3 点の間隔を $a$、$b$、$c$ とします。

3 つの弧で円周を 1 周するので、次が成り立ちます。

$$a+b+c=n$$

正十二角形なら $a+b+c=12$。この 3 つ組を見れば、角度を計算しなくても形が分かります。

半円にあたるのは間隔 $\frac{n}{2}$ です。正十二角形なら 6。

間隔がちょうど 6 なら、向かい合う角は直角。3 つの間隔のうち最大のものを見れば、三角形の種類が決まります。

直角三角形

間隔がちょうど半円になるのは、2 点が直径の両端にあるときです。このとき残る 1 点から見た角が直角になる^[2]。

タレスの定理と呼ばれる関係です。逆に、直角三角形の斜辺は必ず外接円の直径になります^[3]。

例：正十二角形の直角三角形

直径は、向かい合う頂点を結んだ線です。12 個の頂点が 6 組の向かい合う対をつくるので、直径は 6 本。

直径を 1 本選ぶと、残る頂点は $12-2=10$ 個。そのどれを選んでも直角三角形になります。

$$6\times 10=60$$

60 個です。一般に $n$ が偶数のとき、直角三角形は $\frac{n}{2}\times (n-2)$ 個。

$n$ が奇数なら、向かい合う頂点の組がありません。直径がとれないので、直角三角形は 0 個です。

例：正十角形と正九角形

正十角形なら直径が 5 本、残る点が 8 個で $5\times 8=40$ 個。

正九角形は頂点が奇数個なので、直角三角形は 1 つもできません。

鈍角三角形

鈍角になるのは、3 つの間隔のうち 1 つが半円より大きいときです。正十二角形なら、間隔が 7 以上のものがある場合。

このとき残る 2 つの間隔の和は 5 以下になります。つまり 3 点が、5 区間ぶんの狭い範囲に収まっている。

数え方はこうです。3 点のうち、その狭い範囲でいちばん手前にある点を基準にします。

基準の頂点を 12 通りから選び、そこから時計回りに 1 から 5 区間先の 5 個の頂点から 2 個を選ぶ。

$$12\times {}_5{\mathrm{C}}_2=12\times 10=120$$

120 個です。どの鈍角三角形も基準の頂点が 1 つに決まるので、二重に数えません。

鋭角三角形は引いて出す

鋭角三角形を直接数えるのは面倒です。全体から引きます。

$$220-60-120=40$$

40 個。3 つの間隔がすべて 5 以下になる場合にあたります。

例：正十角形で分類する

総数は ${}_{10}{\mathrm{C}}_3=120$ 個。直径が 5 本なので直角は $5\times 8=40$ 個。

鈍角は、間隔が 6 以上のものがある場合。残る 2 つの間隔の和は 4 以下です。

基準の頂点を 10 通り、そこから 1 から 4 区間先の 4 個から 2 個を選んで ${}_4{\mathrm{C}}_2=6$ 通り。$10\times 6=60$ 個。

鋭角は $120-40-60=20$ 個です。

例：正九角形で分類する

総数は ${}_9{\mathrm{C}}_3=84$ 個。直角は 0 個。

半円にあたる間隔は $4.5$ なので、鈍角になるのは間隔が 5 以上のとき。残る 2 つの和は 4 以下です。

$9\times {}_4{\mathrm{C}}_2=9\times 6=54$ 個が鈍角。鋭角は $84-54=30$ 個になります。

奇数角形では直角がないぶん、鋭角と鈍角だけに分かれる。

二等辺三角形

2 つの辺が等しいのは、2 つの弧が等しいときです。間隔でいえば、$a$、$b$、$c$ のうち 2 つが同じ値になる。

数え方は、等しい 2 辺が集まる頂点を先に決める形になります。その頂点を頂角と呼びます。

頂角の頂点を $n$ 通りから選び、そこから左右に同じ間隔 $k$ だけ離れた 2 点をとる。$k$ は 1 から $\lfloor \frac{n-1}{2}\rfloor$ まで。

$$n\times \lfloor \frac{n-1}{2}\rfloor$$

ただし正三角形は、どの頂点も頂角になるので 3 回数えています。あとで補正します。

例：正十二角形の二等辺三角形

$\lfloor \frac{11}{2}\rfloor =5$ なので、$12\times 5=60$。

正三角形は、$12$ が 3 で割り切れるので $12÷3=4$ 個あります。それぞれ 3 回数えているので、$2\times 4=8$ を引く。

$$60-8=52$$

52 個です。このうち 4 個が正三角形、48 個がそれ以外の二等辺三角形になります。

例：正十角形と正九角形の二等辺三角形

正十角形は $\lfloor \frac{9}{2}\rfloor =4$ なので $10\times 4=40$。$10$ は 3 で割り切れないので正三角形はなく、補正なしの 40 個。

正九角形は $\lfloor \frac{8}{2}\rfloor =4$ で $9\times 4=36$。正三角形が 3 個あるので $36-6=30$ 個です。

例：直角二等辺三角形

正十二角形で、直角かつ二等辺になる三角形を数えます。

間隔が $(6,3,3)$ の形です。直径を 1 本選ぶと、その垂直二等分線上の頂点は 1 つに決まる。

直径が 6 本なので、直角二等辺三角形は 12 個。直径の両側にそれぞれ 1 つずつ頂点があるため、$6\times 2=12$ 個になります。

分類の全体像

正十二角形の 220 個を、角の種類と辺の種類の両方で見ます。

角と辺は別の切り口です。どちらで分類を求められているかを、問題文で確かめます。

検算のしかた

分類した個数を全部足して、総数に戻るかを見ます。$40+60+120=220$ で合いました。

小さい正多角形でも試せます。正六角形なら総数 ${}_6{\mathrm{C}}_3=20$ 個。直角は $3\times 4=12$ 個、鈍角は $6\times {}_2{\mathrm{C}}_2=6$ 個、鋭角は $20-12-6=2$ 個。

鋭角の 2 個は、頂点を 1 つおきに選んだ正三角形です。手で描いて確かめられます。

角度ではなく間隔を数える。この置きかえができれば、どの正多角形でも同じ手順で分類が終わります。

参考文献