並べてできた整数の「総和」は位ごとに数える

1、2、3 の 3 枚で作れる 3 桁の整数は 123、132、213、231、312、321 の 6 個。全部足すと 1332 です。

6 個なら書き出せます。5 枚から 3 枚を選ぶ 60 個になると、1 つずつ足していられない。位ごとに数える方法に切り替えます。

位ごとに分けて数える

整数の和を、百の位の和、十の位の和、一の位の和に分けます。$123=100\times 1+10\times 2+1\times 3$ と見る。

すると問いは、「各位に、それぞれの数字が何回現れるか」に変わります。回数さえ分かれば掛け算で済む。

図のとおり、どの位にも 1、2、3 が 2 回ずつ現れます。1 つの数字を固定すると、残り 2 枚の並べ方が $2!=2$ 通りだから。

例：3 枚全部を使う

各位の数字の和は $(1+2+3)\times 2=12$ で、どの位も同じです。

$$12\times 100+12\times 10+12\times 1=12\times 111=1332$$

書き出して足した値と一致しました。$111$ は、位の重み $100$、$10$、$1$ を足したものです。

一般の形

$n$ 枚のカードを全部使う場合、ある位にある数字を固定すると、残りは $(n-1)!$ 通り。だから各数字が各位に $(n-1)!$ 回ずつ現れます。

$$(\text{数字の和})\times (n-1)!\times \underset{n\text{ 桁}}{\underbrace{11\cdots 1}}$$

$n$ 枚から $r$ 枚を選ぶ場合は、回数が ${}_{n-1}{\mathrm{P}}_{r-1}$ になります。1 つを固定して、残り $r-1$ 個の位に $n-1$ 枚から並べるため。

例：4 枚全部で 4 桁

1、2、3、4 を全部使って 4 桁の整数を作ります。総数は $4!=24$ 個。

各数字は各位に $3!=6$ 回ずつ現れる。各位の和は $(1+2+3+4)\times 6=60$ です。

$$60\times 1111=66660$$

平均で確かめます。$66660÷24=2777.5$。各位の平均が $10÷4=2.5$ なので、$2.5\times 1111=2777.5$ と合う。

例：5 枚から 3 枚を選ぶ

1、2、3、4、5 から 3 枚を選んで 3 桁の整数を作ります。総数は ${}_5{\mathrm{P}}_3=60$ 個。

ある位にある数字を固定すると、残り 2 つの位に 4 枚から 2 枚を並べる。${}_4{\mathrm{P}}_2=12$ 通りです。

各位の和は $(1+2+3+4+5)\times 12=180$。

$$180\times 111=19980$$

平均は $19980÷60=333$ で、各位の平均 3 に $111$ を掛けた値になっています。

0 が入ると回数がそろわなくなる

0 を含むカードでは、先頭に 0 を置けません。そのため、位によって出現回数が変わります。

いちばん上の位に 0 は 1 回も現れない。その代わり、下の位では 0 の出番が増えます。

例：0 を含む 3 桁の総和

0、1、2、3 から 3 枚を選んで 3 桁の整数を作ります。総数は $3\times 3\times 2=18$ 個。

百の位から数えます。百の位が 1 のとき、残り 2 つの位に 3 枚から 2 枚を並べて ${}_3{\mathrm{P}}_2=6$ 通り。2 と 3 も同じく 6 回ずつ。

十の位は場合が分かれます。十の位が 0 なら、百の位が 1、2、3 の 3 通り、一の位が残り 2 通りで 6 回。十の位が 1 なら、百の位は 0 と 1 を除く 2 通り、一の位が 2 通りで 4 回。

一の位も同じ数え方になります。表にまとめたとおり、0 が 6 回、ほかは 4 回ずつ。

$$(1+2+3)\times 6\times 100+(1+2+3)\times 4\times 10+(1+2+3)\times 4\times 1$$

$$=3600+240+24=3864$$

百の位を固定して足しても確かめられます。1 から始まる 6 個の和が 710、2 からが 1288、3 からが 1866。合計 3864 で一致しました。

例：0 を含む 4 枚を全部使う

0、1、2、3 を全部使って 4 桁の整数を作ります。総数は $3\times 3!=18$ 個。

千の位は 1、2、3 が $3!=6$ 回ずつ。$(1+2+3)\times 6=36$ で、$36\times 1000=36000$。

下の 3 つの位では、0 が 6 回、1、2、3 が 4 回ずつ。各位の和は $(1+2+3)\times 4=24$ です。

$$36000+24\times 100+24\times 10+24\times 1=36000+2664=38664$$

千の位ごとに足しても確かめられます。1 で始まる 6 個が 7110、2 で始まるのが 12888、3 で始まるのが 18666。

平均から出す見方

総和は「個数 × 平均」でも出せます。平均を求めるほうが速い場合がある。

0 を含まないカードなら、各位の平均は数字の平均に等しい。1 から 5 の 5 枚なら平均 3 で、3 桁の平均は $3\times 111=333$。

個数の 60 を掛けて 19980。位ごとに数えた値と同じです。

0 を含む場合はこの近道が使えません。位によって平均が違うため、素直に位ごとへ戻します。

例：偶数だけの総和

1、2、3、4 から 3 枚を選んで作った 3 桁の偶数を、全部足します。

一の位は 2 か 4 です。一の位が 2 のとき、上 2 桁は残り 3 枚から 2 枚で ${}_3{\mathrm{P}}_2=6$ 個。一の位が 4 でも 6 個で、合計 12 個。

一の位の和は $2\times 6+4\times 6=36$。

上 2 桁を数えます。一の位が 2 のとき、百の位には 1、3、4 が 2 回ずつ現れる。十の位も同じです。一の位が 4 なら、1、2、3 が 2 回ずつ。

百の位の和は $(1+3+4)\times 2+(1+2+3)\times 2=16+12=28$。十の位も 28 です。

$$28\times 100+28\times 10+36=2800+280+36=3116$$

条件が付くと、位ごとに現れる数字の顔ぶれまで変わる。表を作ってから足すほうが安全です。

よくある誤り

位ごとに、どの数字が何回現れるか。表を 1 つ作れば、あとは掛けて足すだけです。

参考文献

^[1] が順列の公式、^[2] が段ごとに掛ける数え方、^[3] から ^[5] が各国語での基本の整理です。