回して重なるものは 1 つと数える……割り算が効く条件

円順列で $n$ で割り、じゅず順列でさらに 2 で割り、組分けで $k!$ で割る。立方体の塗り分けでは 24 で割ります。

どれも同じ操作です。「動かして重なるものを 1 つと数える」ために、重なる回数で割っている。ただし、いつでも割れるわけではない。

割り算が成り立つ仕組み

区別できる並べ方の総数を $N$ とします。ある動かし方の集まりがあり、その個数を $g$ とする。

どの並べ方も、$g$ 通りの動かし方によって $g$ 個の別々の並べ方に移るとします。すると $N$ 個は $g$ 個ずつの組に分かれる。

組の個数が答えです。

$$\frac{N}{g}$$

大事なのは「どの並べ方も $g$ 個ずつの組をつくる」という前提です。ここが崩れると割れません。

例：円順列

異なる 4 人の一列の並べ方は $4!=24$ 通り。円卓に座らせると、先頭をずらしただけの 4 通りが同じ座り方になります。

どの座り方も、ちょうど 4 通りの直線の並びから来る。だから $24÷4=6$ 通り、つまり $(4-1)!$ です^[4]。

異なるものだけなら、回してぴったり元に戻ることはありません。だから重なる回数が必ず $n$ でそろいます。

例：じゅず順列

円順列に、裏返す操作を加えます。動かし方が回転 $n$ 通りと、裏返してからの回転 $n$ 通りで、合わせて $2n$ 通り。

異なる $n$ 個で $n\ge 3$ なら、$n!$ を $2n$ で割って $\frac{(n-1)!}{2}$ になります。

例：組分けの割り算

6 人を 3 人ずつ 2 組に分ける問題では、組に名前が付いていれば 20 通りでした。

名前を消すと、2 つの組を入れ替えた 2 通りが同じ分け方になる。どの分け方も 2 通りずつなので $20÷2=10$ 通り。

2 人ずつ 3 組なら、入れ替えは $3!=6$ 通り。$90÷6=15$ 通りです。名前を消す操作も、回転と同じ「動かして重なる」の一種になります。

例：立方体の 6 面を 6 色で塗る

6 面に 6 色を 1 色ずつ塗ります。面に番号が付いていれば $6!=720$ 通り。

立方体は回して置き直せます。回転のしかたは全部で 24 通り。

$$\frac{720}{24}=30$$

30 通りです。6 色すべてが違うので、どの塗り方も回転で必ず別の見た目になり、24 通りずつの組ができます。

24 の内訳は次のとおりです^[1]。

例：正四面体の 4 面を 4 色で塗る

面に番号があれば $4!=24$ 通り。正四面体の回転は 12 通りです。

$24÷12=2$ 通り。鏡に映すと重ならない 2 種類があり、右手系と左手系にあたります。

割れなくなる場合

同じ色を 2 面以上に使うと、話が変わります。回しても見た目が変わらない塗り方が現れるためです。

立方体を 2 色で塗る場合を見ます。面に番号があれば $2^6=64$ 通り。

$64÷24$ は $2.67$ ほどで整数になりません。全 6 面を同じ色にした塗り方は、どう回しても自分に戻る。組の大きさが 1 になっています。

整数になるかで判定する

割り算が使えるかどうかは、答えが整数になるかで見分けられます。個数は必ず整数だから。

$720÷24=30$ は整数なので、6 色すべて異なる塗り方では割れます。$64÷24$ は整数でないので割れない。

ただし、整数になっても割れるとは限りません。組の大きさがばらついていて、たまたま割り切れることもある。

確実なのは、「動かして自分に戻る配置があるか」を見ることです。1 つでもあれば割り算は使えません。

例：立方体を 2 色で塗る

割り算が使えないので、別の方法が要ります。回転ごとに「変わらない塗り方」を数えて平均をとる、という定理があります^[1]。

そのまま置く場合は $2^6=64$ 通りすべてが変わりません。面の中心軸まわりの 90 度回転では、側面 4 面が同じ色になる必要があり $2^3=8$ 通り。

同じように数えて平均をとると 10 通りになります。バーンサイドの補題と呼ばれる定理です^[2]。

3 色なら 57 通り^[1]。高校の範囲ではこの定理を使いませんが、割り算が崩れる理由はここから見えます。

高校での進め方

割り算が使えるのは、動かす対象がすべて異なるときです。この場合だけ式で押し切る。

同じものが混ざるときは、数を小さくした問題として書き出します。実際、高校の出題では書き出せる大きさに作られている。

例：正三角柱の側面を塗る

正三角柱の側面 3 面を、3 色すべて使って塗ります。上下の面は塗らないとする。

面に番号があれば $3!=6$ 通り。三角柱を軸まわりに回すと 3 通りの向きがあります。

$6÷3=2$ 通り。3 色すべて違うので割り算が使えます。

ここで上下をひっくり返す操作も許すなら、動かし方が 6 通りになり $6÷6=1$ 通り。どの操作を「同じ」と認めるかで答えが変わります。

何を同じと見るかを先に決める

問題を読むときは、許される動かし方を最初に書き出します。

円順列なら回転だけ。じゅず順列なら回転と裏返し。立体なら回転だけで、鏡に映す操作は含めないのがふつうです。

操作の個数を書き出さずに計算を始めると、割る数を間違えます。まず一覧を作る。

検算のしかた

答えが出たら、小さい場合で確かめます。異なる 3 個の円順列は $2!=2$ 通りで、書き出すと ABC と ACB の 2 つ。

じゅず順列なら $2÷2=1$ 通り。裏返すと ABC と ACB が重なるので、確かに 1 つです。

正四面体の 2 通りも、模型があれば手で確かめられます。式だけで信じない。

よくある誤り

割る前に 2 つ確かめる。動かす対象がすべて異なるか、そして動かし方が何通りあるか。この 2 点がそろえば、あとは 1 回の割り算で終わります。

参考文献

^[1] が回転で重なるものを数える定理と立方体の例、^[2] が同じ定理の別の言語での解説、^[3] が輪に並べる場合の一般論、^[4] が円順列の公式、^[5] が順列の基本です。