カードを並べて整数をつくる（偶数、3 の倍数、0 の扱い）

0、1、2、3、4 の 5 枚のカードから 3 枚を選んで 3 桁の整数を作ります。$5\times 4\times 3=60$ ではなく 48 個。

差の 12 個は、百の位に 0 を置いてしまった並びです。整数をつくる問題では、この 0 の扱いと倍数の条件が二本柱になる。

先頭に 0 を置けない

3 桁の整数は 100 以上の数です。$012$ は 12 であって、3 桁とは呼びません。

だから百の位だけ、選べる枚数が 1 枚少なくなります。制限のある位から先に決める。

百の位は 0 以外の 4 通り。十の位は、0 を含む残り 4 枚から 1 枚で 4 通り。一の位は残り 3 枚で 3 通り。

$$4\times 4\times 3=48$$

十の位が 4 通りに戻るところが要です。百の位で 1 枚使ったぶん減り、0 が使えるぶん増えて、差し引き 4 になる。

0 を含まない 1 から 5 のカードなら、制限がないので ${}_5{\mathrm{P}}_3=60$ 個。0 が 1 枚混ざるだけで 12 個減ります。

全体から引く数え方

先頭の制限は、引き算でも処理できます。$5\times 4\times 3=60$ から、百の位が 0 の並びを引く。

百の位が 0 なら、残り 4 枚から 2 枚を並べて ${}_4{\mathrm{P}}_2=12$ 通り。$60-12=48$ 個です。

条件が 1 つだけなら引き算のほうが速い場面もある。条件が重なるときは、位ごとに決めるほうが確実になります。

例：4 桁の整数

0 から 5 の 6 枚から 4 枚を選んで 4 桁の整数を作ります。

千の位が 5 通り、以下は残りから順に 5 通り、4 通り、3 通り。

$$5\times 5\times 4\times 3=300$$

300 個です。千の位で 1 枚使い、0 が解禁されるので、2 番目の位がまた 5 通りに戻る。

偶数と奇数

一の位で決まります。偶数なら一の位が 0、2、4 のいずれか。

ただし一の位に 0 を置くかどうかで、百の位の自由度が変わります。ここで場合分けが要る。

例：3 桁の偶数

0、1、2、3、4 から 3 枚を選んで 3 桁の偶数を作ります。

一の位が 0 のとき、百の位と十の位は残り 4 枚から 2 枚を並べて ${}_4{\mathrm{P}}_2=12$ 通り。百の位の制限は自動的に消えています。

一の位が 2 か 4 のとき、その 2 通りそれぞれで、百の位は 0 と一の位の数を除く 3 通り、十の位は残り 3 通り。$2\times 3\times 3=18$ 通り。

足して $12+18=30$ 個です。全体 48 個のうち 30 個が偶数、18 個が奇数になります。

奇数のほうも確かめます。一の位が 1 か 3 で 2 通り、百の位が 3 通り、十の位が 3 通りで 18 個。合計が 48 に戻りました。

5 の倍数

一の位が 0 か 5 のときだけです^[1]。0 を含むカードなら、偶数と同じ場合分けになる。

0、1、2、3、4、5 の 6 枚から 3 枚で 3 桁の 5 の倍数を作ります。

一の位が 0 なら ${}_5{\mathrm{P}}_2=20$ 通り。一の位が 5 なら、百の位は 0 と 5 を除く 4 通り、十の位は残り 4 通りで 16 通り。

合わせて 36 個です。

3 の倍数は各位の和で決まる

3 の倍数かどうかは、各位の数字の和が 3 の倍数かどうかで決まります^[1]。並べ方ではなく、選ぶ組で決まる。

だから手順が変わります。まず和が 3 の倍数になる組を探し、そのあとで並べ方を数える。

例：3 の倍数を数える

0、1、2、3、4 から 3 枚を選び、3 桁の 3 の倍数を作ります。

和が 3 の倍数になる組を探します。$\{0,1,2\}$ が 3、$\{0,2,4\}$ が 6、$\{1,3,4\}$ が 8 で外れ、$\{0,1,3\}$ が 4 で外れ。$\{1,2,3\}$ が 6、$\{2,3,4\}$ が 9、$\{0,3,4\}$ が 7 で外れ、$\{0,2,3\}$ が 5 で外れ、$\{0,1,4\}$ が 5 で外れ、$\{1,2,4\}$ が 7 で外れ。

残るのは $\{0,1,2\}$、$\{0,2,4\}$、$\{1,2,3\}$、$\{2,3,4\}$ の 4 組。

0 を含む 2 組は、先頭に 0 を置けないので $3!-2!=4$ 通りずつ。0 を含まない 2 組は $3!=6$ 通りずつ。

$$2\times 4+2\times 6=20$$

20 個です。組を先に決め、そのあとで 0 の制限を当てる、という順番になる。

4 の倍数は下 2 桁で決まる

4 の倍数かどうかは、下 2 桁が 4 の倍数かどうかで決まります^[1]。

0、1、2、3、4 から 3 枚で 3 桁の 4 の倍数を作ります。下 2 桁として使える 2 桁の並びを書き出す。

$04$、$12$、$20$、$24$、$32$、$40$ が候補です。$00$ や $44$ は同じカードを 2 度使うので除く。

それぞれについて、百の位に置けるカードを数えます。$04$ なら残りは 1、2、3 の 3 通り。$12$ なら残りは 0、3、4 のうち 0 を除いて 2 通り。

$3\times 3+3\times 2=15$ 個になります。下 2 桁を先に固定して、残りを数える。

例：3 桁の整数のうち 6 の倍数

6 の倍数は、2 の倍数かつ 3 の倍数です^[1]。両方の条件を同時に満たすものを探す。

さきほど 3 の倍数の組は $\{0,1,2\}$、$\{0,2,4\}$、$\{1,2,3\}$、$\{2,3,4\}$ の 4 つでした。この中で一の位を偶数にできる並びだけを数えます。

$\{0,1,2\}$ では一の位が 0 か 2。一の位が 0 なら残り 2 通り、一の位が 2 なら百の位が 1 だけなので 1 通り。合わせて 3 通り。

$\{0,2,4\}$ は 3 枚とも偶数なので、一の位はどれでもよい。0 を先頭に置かない並びが 4 通り。

$\{1,2,3\}$ は一の位が 2 のみで、残り 2 枚の並べ方が 2 通り。$\{2,3,4\}$ は一の位が 2 か 4 で、それぞれ 2 通りずつの 4 通り。

$3+4+2+4=13$ 個です。条件が 2 つ重なると、組ごとに数えるしかなくなる。

例：同じ数字を何度でも使える場合

カードではなく、0 から 4 の数字を何度でも使ってよいとします。3 桁の整数は何個できるか。

百の位が 4 通り、十の位と一の位はそれぞれ 5 通り。$4\times 5\times 5=100$ 個です。

このとき偶数は、一の位が 0、2、4 の 3 通りなので $4\times 5\times 3=60$ 個。カードのときのような場合分けは要りません。

同じ数字を使えるかどうかで、手順そのものが変わる。使える場合は位ごとに独立して数えられます。

例：ある数より大きい整数

0、1、2、3、4 から 3 枚で作った 3 桁の整数のうち、320 より大きいものを数えます。

百の位が 4 のとき、残り 2 桁は自由で ${}_4{\mathrm{P}}_2=12$ 個。

百の位が 3 のとき、十の位が 4 なら 3 通り、十の位が 2 なら一の位が 1 か 4 で、$321$ と $324$ の 2 個。十の位が 0 か 1 では 320 を超えません。

$12+3+2=17$ 個です。上の位から順に固定して、それぞれで残りを数える。

よくある誤り

制限のきつい位を先に決める。これだけで、ほとんどの場合分けは短くなります。

参考文献

^[1] が倍数の判定法、^[2] と ^[3] が順列の公式、^[4] と ^[5] が各国語での基本の数え方です。