集合が重なる幅で要素の個数の最大と最小が決まる

100 人のうち、A を知っている人が 70 人、B を知っている人が 60 人。両方を知っている人は何人か。

この問いには 1 つの答えがありません。決まるのは範囲だけで、$30$ 人以上 $60$ 人以下になる。

重なりが決まらない理由

$n(A)=70$、$n(B)=60$ という条件だけでは、2 つの集合の位置関係が定まりません。

$B$ がすっぽり $A$ に入っているかもしれないし、はみ出せるだけはみ出しているかもしれない。どちらも条件を破っていない。

決まるのは、いちばん重ねたときと、いちばん離したときの 2 つの端です。

図の緑の幅が、両方を知っている人数です。$B$ をどこへ動かしても、30 人から 60 人の間から出られない。

最大はどちらか小さいほう

重なりは、$A$ の中にも $B$ の中にも収まります。だから、どちらの大きさも超えられない。

$$n(A\cap B)\le \min (n(A),n(B))$$

$70$ と $60$ なら上限は 60 です。$B$ の全員が $A$ にも入っている状態にあたる。

この形が実現できるのは、$B$ が $A$ に含まれるときだけ。図でいえば、小さいほうの帯が大きいほうにすっぽり入る位置です。

最小は全体からのはみ出し

$A$ と $B$ を足すと $70+60=130$ で、全体の 100 を 30 だけ超えます。この超過は、どこかで重ならないと収まらない。

$$n(A\cap B)\ge n(A)+n(B)-n(U)$$

下限は 30 です。$A$ と $B$ で全体を覆い尽くし、はみ出したぶんだけが重なっている状態にあたる。

右辺が負になることもあります。そのときは、まったく重ならない置き方ができるので下限は 0。

例：範囲を書き出す

$n(U)=100$、$n(A)=70$、$n(B)=60$ のとき、$x=n(A\cap B)$ の範囲を求めます。

上限は $\min (70,60)=60$。下限は $70+60-100=30$。

$$30\le x\le 60$$

和集合のほうの範囲

共通部分が決まれば和集合も決まります。$n(A\cup B)=130-x$ なので、$x$ が動くぶんだけ逆向きに動く。

$x$ が最小の 30 のとき、和集合は最大の 100。$x$ が最大の 60 のとき、和集合は最小の 70 です。

式で書くと次の形になります。

$$\max (n(A),n(B))\le n(A\cup B)\le \min (n(U),n(A)+n(B))$$

共通部分と和集合は、いつも逆に動く。片方の上限がもう片方の下限に対応します。

例：どちらでもない人の範囲

40 人のクラスで、犬が好きな人が 28 人、猫が好きな人が 17 人。どちらも好きでない人は何人か。

共通部分を $x$ とすると、上限は 17、下限は $28+17-40=5$。

どちらでもない人は $40-(45-x)=x-5$ 人です。$x$ が $5$ から $17$ まで動くので、$0$ 人から $12$ 人まで。

両端が実際に起こることも確かめます。$x=5$ なら 45 人ぶんで 40 人をちょうど覆い、$x=17$ なら猫好きが全員犬好きに含まれる。

例：条件が足りると決まる

同じ 40 人で、どちらも好きでない人が 3 人だと分かったとします。

少なくとも一方が好きなのは 37 人。$28+17-x=37$ から $x=8$ 人。

条件が 1 つ増えると、範囲だった答えが 1 点に定まります。問題文にどちらでもない人数があるかどうかを、先に探す。

3 つの集合の場合

3 つになると、下限の式に全体が 2 回入ります。

$$n(A\cap B\cap C)\ge n(A)+n(B)+n(C)-2n(U)$$

3 つを足すと全体を最大 2 回ぶん超えられるので、超過は $2n(U)$ を引いた値です。上限は 3 つのうちいちばん小さいもの。

こうした上下からの評価は、ボンフェローニの不等式と呼ばれる一群の一部にあたります^[2]。

例：3 教科の得点者

50 人のテストで、数学の合格者が 40 人、英語が 35 人、国語が 30 人。3 科目とも合格した人の範囲を求めます。

上限は $\min (40,35,30)=30$。下限は $40+35+30-2\times 50=5$。

$$5\le n(A\cap B\cap C)\le 30$$

下限の 5 は、不合格者の総数から出す見方でも確かめられます。数学の不合格が 10 人、英語が 15 人、国語が 20 人で、合計 45 人。

3 科目とも合格しなかった人は、多くても 45 人です。$50-45=5$ 人は必ず全科目に合格している。

例：最大と最小の実現を確かめる

範囲を出したら、その端が本当に起こる配置を 1 つ作ります。

50 人で全科目合格が 5 人という配置。不合格者 10 人、15 人、20 人がすべて別々の人になっていればよい。$10+15+20=45$ で 50 人以内に収まるので、作れます。

30 人という配置なら、国語の合格者 30 人全員が数学にも英語にも合格していればよい。数学の合格者 40 人と英語の 35 人は 30 人を含めるだけの余裕があるので、こちらも作れる。

端が実現できることまで示して、はじめて範囲が答えになります。式だけで止めない。

例：範囲が 1 点になる場合

$n(U)=30$、$n(A)=30$、$n(B)=18$ とします。$A$ が全体と一致している。

上限は $\min (30,18)=18$、下限は $30+18-30=18$。上下が一致して $x=18$ に決まります。

片方が全体そのものなら、もう片方は必ずその中に入る。範囲を計算すると、それが自動的に出ます。

よくある誤り

最大は「小さいほうに全部入る」、最小は「全体からはみ出したぶん」。この 2 つの絵を覚えておけば、式は毎回組み立て直せます。

参考文献

^[1] が個数定理と評価の基礎、^[2] が上下からの不等式、^[3] と ^[4] が各国語での定式化、^[5] が足し算が成り立つ条件です。