測度がマイナスをとったら？符号付き測度とハーン分解

測度から非負という縛りを外すと、質量ではなく電荷を測る道具になります^[2]。プラスの領域とマイナスの領域が同居し、足すと打ち消し合う。

外すのは非負性だけで、可算加法性はそのまま残します。ただし一つだけ新しい制限が要ります。$\infty$ と $-\infty$ の両方を値に持つことは許しません。

この一行の制限から、符号付き測度の理論はほとんど自動的に決まります。空間が正の側と負の側にきれいに割れ、測度が二つの正測度の差に一意に分かれる。

定義を書き下す

可測空間 $(X,\mathcal{A})$ の上の符号付き測度とは、次の 3 条件を満たす $\nu :\mathcal{A}\to [-\infty ,\infty ]$ です^[5]。

3 番目の条件は、通常の測度とまったく同じ形をしています。違うのは右辺の級数が負の項を含みうる点だけ。

和が集合の並べ方によらない以上、級数は無条件収束します。有限の値なら絶対収束していることになる。

両方の無限大を許さない理由

交わらない $A$ と $B$ について $\nu (A)=\infty$、$\nu (B)=-\infty$ だったとします。

可算加法性は $\nu (A\cup B)=\nu (A)+\nu (B)$ を要求しますが、右辺は $\infty -\infty$ です。値が決まりません。

条件 2 は、この破綻を入口で締め出すためのものです。片側だけなら $\infty +3=\infty$ のように計算が通ります。

副産物として、$|\nu (A)|<\infty$ なら $A$ のどの可測部分集合でも値が有限になります^[5]。無限どうしが打ち消して有限になる逃げ道がないため。

例：正弦関数を密度にする

$X=[0,2\pi ]$ にルベーグ測度 $m$ を載せ、$f(x)=\sin x$ を密度にします。

$$\nu (A)={\int }_A\sin xdm(x)$$

前半の山と後半の谷で値が逆になります。

$$\nu ([0,\pi ])=2,\nu ([\pi ,2\pi ])=-2,\nu ([0,2\pi ])=0$$

全体では $0$ ですが、この集合には正の部分も負の部分もあります。値が $0$ であることと、何も起きていないことは別。

図の $P$ と $N$ が、これから作る分解の主役になります。

正集合・負集合・零集合

可測集合 $A$ が $\nu$ について正であるとは、$A$ に含まれるどの可測集合 $B$ でも $\nu (B)\ge 0$ となることをいいます^[5]。

負も零も同じ形で、不等号を $\le 0$、等号を $=0$ に替えるだけ。$A$ 自身の値ではなく、部分集合を全部調べる点が要です。

値が正でも正集合とは限らない

さきほどの正弦の例で $A=[0,\frac{3\pi }{2}]$ を選びます。

$$\nu (A)={\int }_0^{3\pi /2}\sin xdx=1>0$$

ところが部分集合 $[\pi ,\frac{3\pi }{2}]$ の値は $-1$ です。負の部分を含むので、$A$ は正集合ではありません。

同じ理由で $\nu (A)=0$ から $A$ が零集合だとも言えません。$[0,2\pi ]$ がその例。

正の部分をとり出す補題

次の主張が分解の土台になります。$0<\nu (A)<\infty$ ならば、$\nu (P)>0$ を満たす正集合 $P\subset A$ がとり出せます^[5]。

証明の筋は素朴で、$A$ から負の測度を持つ部分を削り続けるというもの。削るたびに値は増えるので、削り終えた残りは値が落ちません。

各段で削る量を、そのとき削れる量の半分以上にしておきます。削り残しが積もらないための工夫。

削った量の総和が収束するので、削る量は $0$ に近づきます。残った $P$ のどの部分集合も、極限で $\nu \ge 0$ を満たすことになる。

ハーンの分解定理

主張は短く書けます。任意の符号付き測度 $\nu$ に対し、正集合 $P$ と負集合 $N$ で次を満たすものが存在します^[1]。

$$P\cup N=X,P\cap N=\varnothing$$

ハンス・ハーンが 1921 年に示したものです^[3]。空間そのものを、符号で 2 つに割り切れるという主張になります。

証明

$\nu$ が $\infty$ をとらないとしておきます。とる場合は $-\nu$ で考えれば同じ。証明の組み立て方は何通りか知られていて、以下は上限を達成する集合を作る型です^[4]。

正集合の値の上限を $m$ と置き、$\nu (A_i)\to m$ となる正集合の列を選びます。正集合の可算合併は正集合なので、$P=\bigcup A_i$ も正集合です。

単調性から $\nu (P)=m$ が出ます。$\nu (P)$ は $\infty$ でないので、$m$ は有限。

$N=X\setminus P$ が負集合であることを背理法で示します。そうでなければ $\nu (A^{\prime })>0$ となる $A^{\prime }\subset N$ があり、さきほどの補題から正集合 $P^{\prime }\subset A^{\prime }$ で $\nu (P^{\prime })>0$ となるものがとれます。

すると $P\cup P^{\prime }$ は正集合で $\nu (P\cup P^{\prime })>m$ となり、$m$ の定め方に反します。したがって $N$ は負集合です。

一意性は零集合を除いて

別の組 $P^{\prime }$、$N^{\prime }$ があったとします。このとき次の包含が成り立ちます。

$$P\setminus P^{\prime }\subset P\cap N^{\prime }$$

左辺は $P$ の部分なので正、右辺は $N^{\prime }$ の部分なので負です。正かつ負であれば零集合になります。

$P^{\prime }\setminus P$ も同じ議論で零集合です。つまり $P$ と $P^{\prime }$ の対称差は零で、分解は零集合の差を除いて一つに決まります^[1]。

ジョルダン分解

ハーン分解を手に入れたら、測度の分解は書き下すだけです。

$${\nu }^{+}(A)=\nu (A\cap P),{\nu }^{-}(A)=-\nu (A\cap N)$$

どちらも非負値の測度になり、$\nu ={\nu }^{+}-{\nu }^{-}$ が成り立ちます。少なくとも一方は有限です。

$P$ と $N$ が零集合の差しかないので、${\nu }^{\pm }$ は分解の選び方によりません^[5]。この 2 つを $\nu$ の正部分・負部分と呼びます。

名前はカミーユ・ジョルダンが 1881 年に扱った有界変動関数の分解に由来します^[3]。

互いに特異であること

2 つの測度 $\mu$、$\lambda$ が特異であるとは、$X$ を交わらない $M$ と $L$ に割って $\mu (M)=0$、$\lambda (L)=0$ とできることをいいます。記号では $\mu \perp \lambda$ と書きます。

ジョルダン分解の ${\nu }^{+}$ と ${\nu }^{-}$ は特異です。${\nu }^{+}$ は $N$ の上で $0$、${\nu }^{-}$ は $P$ の上で $0$ だから。

台が重ならないという言い方もできます。2 つの測度が別々の場所に住んでいる状態。

全変動

正部分と負部分を足したものが全変動です。

$$|\nu |={\nu }^{+}+{\nu }^{-}$$

正弦の例なら $|\nu |([0,2\pi ])=4$ です。$\nu ([0,2\pi ])=0$ と比べると、相殺を許さずに絶対値で測り直した量だと分かります。

分割を使った表し方もあります。$A$ の可算可測分割を $\{A_i\}$ として、次の上限が $|\nu |(A)$ に一致します。

$$|\nu |(A)=\sup \sum _i|\nu (A_i)|$$

細かく切るほど相殺が減るので、上限で最大の粗さを拾う形。$\Vert \nu \Vert =|\nu |(X)$ を全変動ノルムと呼びます。

窓が真ん中をまたぐと $\nu (E)$ は小さくなりますが、$|\nu |(E)$ は落ちません。相殺と絶対量の違いがここに出ます。

例：点質量の差

$X=\mathbb{R}$ に $\nu =3{\delta }_1-2{\delta }_2$ を置きます。${\delta }_a$ は $a$ に質量 $1$ を置くディラック測度です。

$1$ を含み $2$ を含まない集合が正、その逆が負になります。分解は次のとおり。

$\nu (\mathbb{R})=1$ に対して $\Vert \nu \Vert =5$ です。差だけを見ていると、動いている質量の総量を見落とします。

例：符号が交互に変わる級数

$X=\mathbb{N}$ に数え上げ測度を入れ、$a_n=\frac{(-1{)}^n}{n^2}$ を密度にします。

$$\nu (A)=\sum _{n\in A}\frac{(-1{)}^n}{n^2}$$

正部分は偶数の項、負部分は奇数の項です。$P$ は偶数全体、$N$ は奇数全体になります。

$$\nu (\mathbb{N})=-\frac{{\pi }^2}{12},|\nu |(\mathbb{N})=\frac{{\pi }^2}{6}$$

全変動が有限なのは、級数が絶対収束するから。条件収束しかしない係数だと、可算加法性が壊れて符号付き測度になりません。

例：無限大を片側だけとる

$X=\mathbb{R}$ にルベーグ測度を入れ、密度を次のように定めます。

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}1& (x\ge 0)\\ -e^x& (x<0)\end{array}$$

$\nu ([0,\infty ))=\infty$ で、$\nu ((-\infty ,0))=-1$ です。正の側だけが無限大なので、条件 2 を満たしています。

密度を $-e^{-|x|}$ でなく $-1$ にすると、両側が無限大になって符号付き測度でなくなります。定義の条件が働くのはこういう場面。

ジョルダン分解は最小である

$\nu ={\lambda }_1-{\lambda }_2$ と正測度の差に書く方法は、ほかにもあります。たとえば両方に同じ有限測度を足せばよい。

そのすべてについて ${\nu }^{+}\le {\lambda }_1$ と ${\nu }^{-}\le {\lambda }_2$ が成り立ちます^[1]。ジョルダン分解は、可能な分解のうちいちばん無駄のないもの。

無駄というのは、${\lambda }_1$ と ${\lambda }_2$ が同じ場所で同時に正の値を持つ部分です。特異性は、その重なりがないことを言っています。

有限符号付き測度はバナッハ空間になる

有限符号付き測度の全体は、和とスカラー倍で閉じています。ベクトル空間になるということ。

そこに全変動ノルム $\Vert \nu \Vert =|\nu |(X)$ を入れると、完備なノルム空間が得られます^[2]。

正測度の全体では、こうはいきません。$-\mu$ が外に出てしまうので、ベクトル空間ではなく凸錐にとどまります。

符号を許したことで、はじめて線形の道具が使えるようになる。これが非負性を外す見返りです。

よくある誤り

参考文献