測度がマイナスをとったら？符号付き測度とハーン分解

測度から非負という縛りを外すと、質量ではなく電荷を測る道具になります^[2]。プラスの領域とマイナスの領域が同居し、足すと打ち消し合う。

外すのは非負性だけで、可算加法性はそのまま残します。ただし一つだけ新しい制限が要ります。 $\infty$ と $- \infty$ の両方を値に持つことは許しません。

この一行の制限から、符号付き測度の理論はほとんど自動的に決まります。空間が正の側と負の側にきれいに割れ、測度が二つの正測度の差に一意に分かれる。

定義を書き下す

可測空間 $(X, A)$ の上の符号付き測度とは、次の 3 条件を満たす $ν : A \to [- \infty, \infty]$ です^[5]。

ν (\emptyset) = 0

を満たす。

\infty

と

- \infty

の少なくとも一方を値に持たない。

互いに交わらない可測集合の列に対して可算加法性が成り立つ。

3 番目の条件は、通常の測度とまったく同じ形をしています。違うのは右辺の級数が負の項を含みうる点だけ。

和が集合の並べ方によらない以上、級数は無条件収束します。有限の値なら絶対収束していることになる。

両方の無限大を許さない理由

交わらない $A$ と $B$ について $ν (A) = \infty$ 、 $ν (B) = - \infty$ だったとします。

可算加法性は $ν (A \cup B) = ν (A) + ν (B)$ を要求しますが、右辺は $\infty - \infty$ です。値が決まりません。

条件 2 は、この破綻を入口で締め出すためのものです。片側だけなら $\infty + 3 = \infty$ のように計算が通ります。

副産物として、 $∣ ν (A) ∣ < \infty$ なら $A$ のどの可測部分集合でも値が有限になります^[5]。無限どうしが打ち消して有限になる逃げ道がないため。

例：正弦関数を密度にする

$X = [0, 2 π]$ にルベーグ測度 $m$ を載せ、 $f (x) = sin x$ を密度にします。

$ν (A) = \int_{A} sin x d m (x)$

前半の山と後半の谷で値が逆になります。

$ν ([0, π]) = 2, ν ([π, 2 π]) = - 2, ν ([0, 2 π]) = 0$

全体では $0$ ですが、この集合には正の部分も負の部分もあります。値が $0$ であることと、何も起きていないことは別。

図の $P$ と $N$ が、これから作る分解の主役になります。

正集合・負集合・零集合

可測集合 $A$ が $ν$ について正であるとは、 $A$ に含まれるどの可測集合 $B$ でも $ν (B) \geq 0$ となることをいいます^[5]。

負も零も同じ形で、不等号を $\leq 0$ 、等号を $= 0$ に替えるだけ。 $A$ 自身の値ではなく、部分集合を全部調べる点が要です。

$A$ が正集合であるとは、 $A$ のすべての可測部分集合で値が非負になることをいいます。 $ν (A) \geq 0$ だけでは足りません。

部分集合を一つ残らず調べる条件。中でプラスとマイナスが相殺していると、全体の値だけでは見抜けない。

値が正でも正集合とは限らない

さきほどの正弦の例で $A = [0, \frac{3 π}{2}]$ を選びます。

$ν (A) = \int_{0}^{3 π /2} sin x d x = 1 > 0$

ところが部分集合 $[π, \frac{3 π}{2}]$ の値は $- 1$ です。負の部分を含むので、 $A$ は正集合ではありません。

同じ理由で $ν (A) = 0$ から $A$ が零集合だとも言えません。 $[0, 2 π]$ がその例。

ν (A) \geq 0

$A$ という 1 つの集合での値。中で相殺していても構造は見えない

A

が正集合

$A$ のすべての可測部分集合での値。相殺の余地がない強い条件

正の部分をとり出す補題

次の主張が分解の土台になります。 $0 < ν (A) < \infty$ ならば、 $ν (P) > 0$ を満たす正集合 $P \subset A$ がとり出せます^[5]。

証明の筋は素朴で、 $A$ から負の測度を持つ部分を削り続けるというもの。削るたびに値は増えるので、削り終えた残りは値が落ちません。

各段で削る量を、そのとき削れる量の半分以上にしておきます。削り残しが積もらないための工夫。

削った量の総和が収束するので、削る量は $0$ に近づきます。残った $P$ のどの部分集合も、極限で $ν \geq 0$ を満たすことになる。

ハーンの分解定理

主張は短く書けます。任意の符号付き測度 $ν$ に対し、正集合 $P$ と負集合 $N$ で次を満たすものが存在します^[1]。

$P \cup N = X, P \cap N = \emptyset$

ハンス・ハーンが 1921 年に示したものです^[3]。空間そのものを、符号で 2 つに割り切れるという主張になります。

証明

$ν$ が $\infty$ をとらないとしておきます。とる場合は $- ν$ で考えれば同じ。証明の組み立て方は何通りか知られていて、以下は上限を達成する集合を作る型です^[4]。

正集合の値の上限を $m$ と置き、 $ν (A_{i}) \to m$ となる正集合の列を選びます。正集合の可算合併は正集合なので、 $P = ⋃ A_{i}$ も正集合です。

単調性から $ν (P) = m$ が出ます。 $ν (P)$ は $\infty$ でないので、 $m$ は有限。

$N = X ∖ P$ が負集合であることを背理法で示します。そうでなければ $ν (A^{'}) > 0$ となる $A^{'} \subset N$ があり、さきほどの補題から正集合 $P^{'} \subset A^{'}$ で $ν (P^{'}) > 0$ となるものがとれます。

すると $P \cup P^{'}$ は正集合で $ν (P \cup P^{'}) > m$ となり、 $m$ の定め方に反します。したがって $N$ は負集合です。

一意性は零集合を除いて

別の組 $P^{'}$ 、 $N^{'}$ があったとします。このとき次の包含が成り立ちます。

$P ∖ P^{'} \subset P \cap N^{'}$

左辺は $P$ の部分なので正、右辺は $N^{'}$ の部分なので負です。正かつ負であれば零集合になります。

$P^{'} ∖ P$ も同じ議論で零集合です。つまり $P$ と $P^{'}$ の対称差は零で、分解は零集合の差を除いて一つに決まります^[1]。

ジョルダン分解

ハーン分解を手に入れたら、測度の分解は書き下すだけです。

$ν^{+} (A) = ν (A \cap P), ν^{-} (A) = - ν (A \cap N)$

どちらも非負値の測度になり、 $ν = ν^{+} - ν^{-}$ が成り立ちます。少なくとも一方は有限です。

$P$ と $N$ が零集合の差しかないので、 $ν^{\pm}$ は分解の選び方によりません^[5]。この 2 つを $ν$ の正部分・負部分と呼びます。

名前はカミーユ・ジョルダンが 1881 年に扱った有界変動関数の分解に由来します^[3]。

互いに特異であること

2 つの測度 $μ$ 、 $λ$ が特異であるとは、 $X$ を交わらない $M$ と $L$ に割って $μ (M) = 0$ 、 $λ (L) = 0$ とできることをいいます。記号では $μ ⊥ λ$ と書きます。

ジョルダン分解の $ν^{+}$ と $ν^{-}$ は特異です。 $ν^{+}$ は $N$ の上で $0$ 、 $ν^{-}$ は $P$ の上で $0$ だから。

台が重ならないという言い方もできます。2 つの測度が別々の場所に住んでいる状態。

全変動

正部分と負部分を足したものが全変動です。

$∣ ν ∣ = ν^{+} + ν^{-}$

正弦の例なら $∣ ν ∣ ([0, 2 π]) = 4$ です。 $ν ([0, 2 π]) = 0$ と比べると、相殺を許さずに絶対値で測り直した量だと分かります。

分割を使った表し方もあります。 $A$ の可算可測分割を ${A_{i}}$ として、次の上限が $∣ ν ∣ (A)$ に一致します。

$∣ ν ∣ (A) = sup i \sum ∣ ν (A_{i}) ∣$

細かく切るほど相殺が減るので、上限で最大の粗さを拾う形。 $∥ ν ∥ = ∣ ν ∣ (X)$ を全変動ノルムと呼びます。

窓が真ん中をまたぐと $ν (E)$ は小さくなりますが、 $∣ ν ∣ (E)$ は落ちません。相殺と絶対量の違いがここに出ます。

例：点質量の差

$X = R$ に $ν = 3 δ_{1} - 2 δ_{2}$ を置きます。 $δ_{a}$ は $a$ に質量 $1$ を置くディラック測度です。

$1$ を含み $2$ を含まない集合が正、その逆が負になります。分解は次のとおり。

正部分	$ν^{+} = 3 δ_{1}$
負部分	$ν^{-} = 2 δ_{2}$
全変動	$∣ ν ∣ = 3 δ_{1} + 2 δ_{2}$
全変動ノルム	$∥ ν ∥ = 5$

$ν (R) = 1$ に対して $∥ ν ∥ = 5$ です。差だけを見ていると、動いている質量の総量を見落とします。

例：符号が交互に変わる級数

$X = N$ に数え上げ測度を入れ、 $a_{n} = \frac{( - 1 ) ^{n}}{n ^{2}}$ を密度にします。

$ν (A) = n \in A \sum \frac{( - 1 ) ^{n}}{n ^{2}}$

正部分は偶数の項、負部分は奇数の項です。 $P$ は偶数全体、 $N$ は奇数全体になります。

$ν (N) = - \frac{π ^{2}}{12}, ∣ ν ∣ (N) = \frac{π ^{2}}{6}$

全変動が有限なのは、級数が絶対収束するから。条件収束しかしない係数だと、可算加法性が壊れて符号付き測度になりません。

例：無限大を片側だけとる

$X = R$ にルベーグ測度を入れ、密度を次のように定めます。

$f (x) = {1 - e^{x} (x \geq 0) (x < 0)$

$ν ([0, \infty)) = \infty$ で、 $ν ((- \infty, 0)) = - 1$ です。正の側だけが無限大なので、条件 2 を満たしています。

密度を $- e^{- ∣ x ∣}$ でなく $- 1$ にすると、両側が無限大になって符号付き測度でなくなります。定義の条件が働くのはこういう場面。

ジョルダン分解は最小である

$ν = λ_{1} - λ_{2}$ と正測度の差に書く方法は、ほかにもあります。たとえば両方に同じ有限測度を足せばよい。

そのすべてについて $ν^{+} \leq λ_{1}$ と $ν^{-} \leq λ_{2}$ が成り立ちます^[1]。ジョルダン分解は、可能な分解のうちいちばん無駄のないもの。

無駄というのは、 $λ_{1}$ と $λ_{2}$ が同じ場所で同時に正の値を持つ部分です。特異性は、その重なりがないことを言っています。

有限符号付き測度はバナッハ空間になる

有限符号付き測度の全体は、和とスカラー倍で閉じています。ベクトル空間になるということ。

そこに全変動ノルム $∥ ν ∥ = ∣ ν ∣ (X)$ を入れると、完備なノルム空間が得られます^[2]。

正測度の全体では、こうはいきません。 $- μ$ が外に出てしまうので、ベクトル空間ではなく凸錐にとどまります。

符号を許したことで、はじめて線形の道具が使えるようになる。これが非負性を外す見返りです。

符号付き測度 $ν$ と可測集合 $A$ について、 $ν (A) > 0$ から言えることはどれですか。

$A$ は $ν$ の正集合である
$A$ は $ν (P) > 0$ を満たす正集合 $P$ を部分に含む
$A$ のどの可測部分集合も正の値を持つ
$A$ の補集合は $ν$ の負集合である

__RESULT__

$ν (A) > 0$ でも中で相殺している可能性があるので、 $A$ 自身が正集合とは限りません。 $ν (A)$ が有限なら、負の部分を削り続けて正集合をとり出せます。これがハーン分解の出発点です。

よくある誤り

ν (A) > 0

なら

A

が正集合だと思う。部分集合を全部調べないと決まりません

ν (A) = 0

なら

A

が零集合だと思う。正の山と負の谷が打ち消しているだけの場合があります

\infty

と

- \infty

の両方を許してよいと思う。

\infty - \infty

が出るので定義から外します

ハーン分解が完全に一意だと思う。一意なのは

ν

の零集合の差を除いてです

∣ ν ∣ (A)

と

∣ ν (A) ∣

を同じものだと思う。前者のほうが大きく、等しくなるのは相殺がないときだけ

正測度の差に書く方法が 1 通りだと思う。いくらでもありますが、最小のものがジョルダン分解です

どの符号付き測度も密度で書けると思う。密度で書けるのは基準の測度に絶対連続なときに限られます

全変動が有限だと思い込む。

ν

が無限の値をとれば

∥ ν ∥

も無限になります

参考文献

Hahn decomposition theorem. Wikipedia（英語）.

Signed measure. Wikipedia（英語）.

Hahn-Jordan-Zerlegung. Wikipedia（ドイツ語）.

Théorème de décomposition de Hahn. Wikipédia（フランス語）.

J. K. Hunter. *Measure Theory*. University of California at Davis, 2011.

非負という縛りを外すと、測度は電荷のように正と負の両方を持ちます。$\infty$ と $-\infty$ の両方は許さない、その一行の制限から空間が正の側と負の側にきれいに割れる。ハーンの分解定理です。そこからジョルダン分解 $\nu = \nu^{+} - \nu^{-}$ と全変動が出てくる。$\nu(A) > 0$ でも $A$ が正集合とは限らないところが要点。正弦関数を密度にする例、点質量の差、符号が交互に変わる級数で確かめます。