密度で書ける部分と書けない部分、ルベーグ分解で絶対連続と特異に割る

基準の測度 $\mu$ から見ると、どんな測度も 2 つの成分に分かれます。$\mu$ が見ている場所に乗っている部分と、$\mu$ が完全に無視する場所に乗っている部分。

$$\nu ={\nu }_a+{\nu }_s,{\nu }_a\ll \mu ,{\nu }_s\perp \mu$$

ルベーグ分解は、この分け方が一意であることを言います^[1]。絶対連続と特異という 2 つの関係が、片方ずつの成分として実際にとり出せる。

アンリ・ルベーグが 1910 年に ${\mathbb{R}}^n$ のルベーグ測度について示し、ラドンとハーンが一般の測度空間へ広げました^[4]。

特異とは台が交わらないこと

2 つの測度 $\mu$、$\lambda$ が互いに特異であるとは、$X$ を交わらない $A$ と $B$ に割って $\mu (B)=0$、$\lambda (A)=0$ とできることをいいます^[3]。

$$\mu \perp \lambda$$

$\lambda$ の質量が全部 $A$ に乗り、$\mu$ の質量が全部 $B$ に乗る状態です。互いに相手の住所を零集合だと思っている。

絶対連続と違って対称な関係になります。$\mu \perp \lambda$ と $\lambda \perp \mu$ は同じ主張。

例：点質量はルベーグ測度に特異

$\mathbb{R}$ にルベーグ測度 $m$ とディラック測度 ${\delta }_0$ を置きます。分割は $A=\{0\}$、$B=\mathbb{R}\setminus \{0\}$。

$m(\{0\})=0$ で ${\delta }_0(\mathbb{R}\setminus \{0\})=0$ なので、たしかに ${\delta }_0\perp m$ です。

長さでは見えない 1 点に、質量が全部乗っています。特異のいちばん素朴な例。

例：有理数に質量を配る

$\mathbb{Q}$ の元を $q_1,q_2,\dots$ と並べ、$q_n$ に $2^{-n}$ の質量を置いた測度 $\lambda$ を考えます。総量は $1$ です。

有理数全体は可算なので $m(\mathbb{Q})=0$、一方で $\lambda (\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q})=0$。分割 $A=\mathbb{Q}$、$B=\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}$ が特異性の証拠になります。

$\mathbb{Q}$ は $\mathbb{R}$ で稠密なので、$\lambda$ の質量はどの区間にも入り込んでいます。それでもルベーグ測度から見れば、すべてが零集合の上の出来事。

稠密であることと、長さを持つことは別。特異性は位置ではなく測度の目で決まります。

絶対連続かつ特異なら零測度

分解の一意性は、この 1 行から出ます。$\lambda \ll \mu$ と $\lambda \perp \mu$ が同時に成り立てば $\lambda =0$。

特異性から $X=A\bigsqcup B$ で $\mu (B)=0$、$\lambda (A)=0$ がとれます。絶対連続性を $B$ に当てると $\mu (B)=0$ から $\lambda (B)=0$。

したがって $\lambda (X)=\lambda (A)+\lambda (B)=0$ となり、$\lambda$ は零測度です。両方の関係を同時に満たす余地がありません。

一意性の証明

$\nu ={\nu }_a+{\nu }_s={\nu }_a^{\prime }+{\nu }_s^{\prime }$ と 2 通りに分かれたとします。移項すると次の形。

$${\nu }_a-{\nu }_a^{\prime }={\nu }_s^{\prime }-{\nu }_s$$

左辺は絶対連続な測度の差なので絶対連続、右辺は特異な測度の差なので特異です。前の節から両辺は零測度になります。

つまり ${\nu }_a={\nu }_a^{\prime }$、${\nu }_s={\nu }_s^{\prime }$ です。分解の仕方は最初から 1 通りしかありません^[1]。

ルベーグ・ラドン・ニコディムの定理

分解と密度を合わせると、次の形にまとまります^[5]。$\nu$ を $\sigma$ 有限符号付き測度、$\mu$ を $\sigma$ 有限測度とします。

$$\nu (A)={\int }_{A}fd\mu +{\nu }_s(A)$$

$f$ は $\mu$ について概収束の意味で一意、${\nu }_s$ は $\mu$ に特異です。絶対連続な部分は密度で書き切れて、書けない残りが特異部分になります。

証明はラドン・ニコディムの定理と同時に進みます^[6]。${\int }_{A}gd\mu \le \nu (A)$ を満たす $g$ の上限を $f$ とすると、${\nu }_s=\nu -\int fd\mu$ が特異になる。

密度で吸えるだけ吸って、吸い残しを特異部分と呼ぶ。分解はそういう手つきで作られます。吸い残しが $0$ ならもとから絶対連続だった、というだけの話。

例：一様分布と点質量の混合

$\mathbb{R}$ 上で、$[0,1]$ の一様分布と $x=\frac{1}{2}$ の点質量を半分ずつ混ぜます。

$$\nu =\frac{1}{2}m{|}_{[0,1]}+\frac{1}{2}{\delta }_{1/2}$$

$m$ を基準にすると、分解はそのまま読めます。

$\nu (\{\frac{1}{2}\})=\frac{1}{2}$ なので $\nu \ll m$ ではありません。それでも半分は密度で書けます。分解が意味を持つのはこういう場面。

特異部分はさらに 2 つに割れる

特異な測度は、原子を持つかどうかでもう一段細かく分かれます^[3]。原子とは、それ自身が正の測度を持つ 1 点のこと。

離散部分は原子だけに乗る測度です。特異連続部分は原子を持たないのに、ルベーグ測度から見れば零集合に全部が乗っている。

3 つ目が絶対連続部分。この 3 層への分解も一意に決まります。

いちばん上が元の測度で、下の 3 段がその成分です。3 段目のとびとびの帯が、次に作るカントール測度にあたります。

カントール測度の作り方

$[0,1]$ から真ん中の $\frac{1}{3}$ を除き、残った 2 本からまた真ん中を除く。これを繰り返した共通部分がカントール集合 $C$ です。

そこへ質量を配ります。第 $n$ 段の $2^n$ 本の区間に、それぞれ $2^{-n}$ ずつ均等に置く。

段を進めても総量は $1$ のまま変わりません。極限で得られる測度 ${\mu }_C$ がカントール測度です。

分布関数 $F(x)={\mu }_C([0,x])$ はカントール関数と呼ばれます^[2]。

平らな踊り場だけを足すと長さが $1$ に近づきます。それでも関数は $0$ から $1$ まで上がりきる。

カントール測度が特異連続である理由

まず原子がありません。1 点 $\{x\}$ は第 $n$ 段のどれか 1 本に入るので ${\mu }_C(\{x\})\le 2^{-n}$ となり、$n\to \infty$ で $0$。

次に特異であることを見ます。カントール集合の長さは次のとおり。

$$m(C)=\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(\frac{2}{3}\right)}^n=0$$

ところが ${\mu }_C(C)=1$ です。$A=C$、$B=[0,1]\setminus C$ と割れば $m(B)=1$ でも ${\mu }_C(B)=0$ なので、${\mu }_C\perp m$ が成り立ちます。

原子を持たないのに特異。この 2 つが同居している点が、特異連続という名前の由来です^[3]。

カントール関数は絶対連続でない

$F$ は連続で単調増加、しかもほとんどいたるところ微分可能で $F^{\prime }=0$ です^[2]。踊り場が長さの全部を占めるため。

導関数を積分しても元に戻りません。

$${\int }_0^1{F}^{\prime }(x)dx=0\ne 1=F(1)-F(0)$$

微積分学の基本定理が破れています。連続で単調でも、絶対連続でなければ導関数から関数を復元できない。

例：3 つの成分をすべて持つ測度

$[0,1]$ の上に、3 つを均等に混ぜた測度を作ります。

$$\nu =\frac{1}{3}m+\frac{1}{3}{\delta }_{1/2}+\frac{1}{3}{\mu }_C$$

ルベーグ測度を基準にした分解は、そのまま項ごとに読めます。

ルベーグ分解では、下の 2 つがまとめて ${\nu }_s$ になります。密度は $\frac{d{\nu }_a}{dm}=\frac{1}{3}$。

分布関数から成分を読む

$\mathbb{R}$ 上の有限測度は、分布関数 $F(x)=\nu ((-\infty ,x])$ で表せます。3 つの成分が、$F$ の 3 種類の振る舞いに対応する。

跳び、なめらかな増加、悪魔の階段。この 3 つで $\mathbb{R}$ 上の測度は言い尽くせます。

逆から見ると、単調増加関数の増え方は 3 種類しかないことになります。分解の一意性が、そのまま増え方の分類になっている。

確率論では、離散分布と連続分布という 2 分法をよく使います。厳密には 3 つ目があり、それがカントール分布のような特異連続分布です。ふつうの応用で出てこないだけで、存在しないわけではありません。

よくある誤り

参考文献