長さと面積の間にある目盛り（ハウスドルフ測度と非整数の次元）

長さ、面積、体積は次元ごとに別々の量でした。同じ定義式の $s$ を動かすだけで、これらをまとめて作れます^[1]。

$${\mathcal{H}}_{\delta }^s(A)=\inf \left\{\sum _i(\mathrm{diam}{U}_i{)}^s:A\subset \bigcup _i{U}_i,\mathrm{diam}{U}_i\le \delta \right\}$$

直径が $\delta$ 以下の集合で $A$ を覆い、直径の $s$ 乗を足した値の下限をとります。$\delta$ を縮めると覆い方が減るので、値は増える一方。

$${\mathcal{H}}^s(A)=\underset{\delta \to 0^{+}}{\lim }{\mathcal{H}}_{\delta }^s(A)=\underset{\delta >0}{\sup }{\mathcal{H}}_{\delta }^s(A)$$

これが $s$ 次元ハウスドルフ測度です。フェリックス・ハウスドルフが 1918 年に導入しました^[2]。$s$ は整数でなくてかまいません。

なぜ $\delta$ を縮めるのか

$\delta$ を固定したままでは、粗い覆いで値をごまかせます。円周を 1 個の大きい円板で覆えば、直径 1 個分の値しか出ません。

細かく覆うことを強いると、集合の形が値に反映されます。極限をとる操作は、その強制です。

$\delta$ について単調なので、極限は上限として存在します。値が $\infty$ になることも許します。

外測度からカラテオドリで測度へ

${\mathcal{H}}^s$ は外測度で、しかもボレル正則です^[1]。距離的外測度でもあるので、ボレル集合はすべてカラテオドリの意味で可測になります。

したがって ${\mathcal{H}}^s$ をボレル集合族に制限すれば測度が得られます。構成の型は、ルベーグ測度を外測度から作ったときとまったく同じ。

違うのは、覆いに使う集合を区間ではなく直径だけで指定している点です。距離さえあれば定義できるので、${\mathbb{R}}^n$ の外でも使えます^[3]。

ルベーグ測度との関係

$s=n$ とすると、${\mathbb{R}}^n$ でルベーグ測度の定数倍になります。

$${\mathcal{H}}^n=\frac{1}{{\beta }_n}m$$

${\beta }_n$ は単位球の体積から決まる正規化の定数です。直径で測るか半径で測るかの差を吸収します^[1]。

正規化を定義に組み込む流儀もあり、その場合は ${\mathcal{H}}^n=m$ になります。以下では正規化しない形で書きます。

$s$ を動かすと 1 点で急に落ちる

同じ集合 $A$ について $s$ を動かすと、値の振る舞いが極端です。${\mathcal{H}}^s(A)<\infty$ なら $t>s$ で ${\mathcal{H}}^t(A)=0$ になります。

覆いの直径が $\delta$ 以下なので、$(\mathrm{diam}{U}_i{)}^t\le {\delta }^{t-s}(\mathrm{diam}{U}_i{)}^s$。右辺の和は ${\delta }^{t-s}$ 倍に縮み、$\delta \to 0$ で消えます。

対偶をとれば、${\mathcal{H}}^s(A)>0$ のとき $t<s$ で ${\mathcal{H}}^t(A)=\infty$。つまり $\infty$ と $0$ の間に、中間の値をとる $s$ はたかだか 1 つしかありません。

ハウスドルフ次元

落ちる場所を次元と呼びます^[2]。

$${\dim }_H(A)=\inf \{s\ge 0:{\mathcal{H}}^s(A)=0\}=\sup \{s\ge 0:{\mathcal{H}}^s(A)=\infty \}$$

2 つの定義が一致するのは、前の節の急落があるためです。整数とはかぎらない値が出ます。

次元そのものでの値は決まりません。${\mathcal{H}}^d(A)$ が $0$ になることも $\infty$ になることも、有限の正の値になることもあります。

例：可算集合の次元は 0

1 点の直径は $0$ なので、$s>0$ なら ${\mathcal{H}}^s(\{x\})=0$ です。

可算集合は 1 点の可算合併なので、可算加法性から ${\mathcal{H}}^s=0$。したがって次元は $0$ になります。

有理数全体も次元 $0$ です。稠密であることと次元は無関係。

例：カントール集合

第 $n$ 段のカントール集合は、長さ $3^{-n}$ の区間 $2^n$ 個です。これを覆いに使うと次の値が出ます。

$$\sum _i(\mathrm{diam}{U}_i{)}^s=2^n\cdot 3^{-ns}={\left(\frac{2}{3^s}\right)}^n$$

$3^s=2$、つまり $s=\frac{\log 2}{\log 3}\approx 0.6309$ のとき、この値は $n$ によらず $1$ です。

$s$ がこれより小さければ発散し、大きければ $0$ に落ちます。上からの評価はこれで済み、下からの評価も別に付くので、次元はちょうどこの値。

長さは $0$ で、点の個数としては非可算。その中間にある量を、この $0.63$ という数が表しています。

自己相似集合の次元

縮小比 $r_1,\dots ,r_m$ の相似写像 $m$ 個で自分自身を覆う集合では、次元が方程式で決まります^[2]。

$$\sum _{i=1}^m{r}_i^d=1$$

モランの方程式と呼ばれます。すべての比が同じ $r$ なら、$m{r}^d=1$ から $d=\frac{\log m}{\log (1/r)}$。

カントール集合は $m=2$、$r=\frac{1}{3}$ なので $\frac{\log 2}{\log 3}$。さきほどの計算と合います。

例：ガスケットとコッホ曲線

コッホ曲線は $1$ 次元より大きく、$2$ 次元より小さい。曲線でありながら長さが無限で、面積は $0$ です^[2]。

ガスケットは $1.58$ で、面積 $0$ の図形。次元が「どれだけ空間を埋めているか」を測る量だと分かります。

開集合条件

モランの方程式が使えるのは、コピーどうしの重なりが小さいときだけです。開集合条件と呼ばれる仮定を置きます^[2]。

空でない有界開集合 $O$ があって、各写像の像が $O$ に入り、しかも互いに交わらないこと。

条件を外すと、重なった部分を二重に数えて次元が過大に出ます。上の 3 例はどれも条件を満たします。

例：滑らかな多様体

${\mathbb{R}}^n$ の中の $C^1$ 級な $k$ 次元部分多様体は、ハウスドルフ次元が $k$ になります。

局所的に ${\mathbb{R}}^k$ の開集合と微分同相で、リプシッツ写像が次元を増やさないため。ふつうの次元と食い違いません。

整数次元の場合に既存の量と一致し、そのうえで非整数まで伸びている。よい一般化の形です。

ボックス次元との違い

覆いに使う集合の大きさをそろえた版がボックス次元です。格子の目盛りを $\epsilon$ にして、交わる箱の個数 $N(\epsilon )$ から定めます。

$${\dim }_B(A)=\underset{\epsilon \to 0}{\lim }\frac{\log N(\epsilon )}{\log (1/\epsilon )}$$

いつでも ${\dim }_H\le {\dim }_B$ です。等号は自己相似集合では成り立ちますが、一般には成り立ちません。

$[0,1]$ の有理数全体が分かりやすい例。ハウスドルフ次元は $0$ ですが、ボックス次元は $1$ になります。可算加法性を持たないぶん、ボックス次元は粗い量です。

よくある誤り

参考文献