測度を測度で割ると密度になる（ラドン・ニコディムの定理と絶対連続）

測度 $ν$ が、別の測度 $μ$ と可測関数 $f$ を使って次の形に書けるのはどんなときか。

$ν (A) = \int_{A} f d μ$

答えは一言で済みます。 $μ$ が測り落とす集合を $ν$ も測り落とすとき^[1]。この条件を絶対連続といい、そのときの $f$ を密度と呼びます。

微分と積分の関係が、関数から測度へ持ち上がった形になります。記号も $f = \frac{d ν}{d μ}$ と、導関数そのままの姿で書く。

絶対連続の定義

符号付き測度 $ν$ と測度 $μ$ について、 $μ (A) = 0$ を満たすすべての可測集合で $ν (A) = 0$ となるとき、 $ν$ は $μ$ に絶対連続であるといいます^[5]。

$ν ≪ μ$

$μ$ の零集合が $ν$ の零集合でもある、と言いかえられます。 $μ$ の目に見えないものは $ν$ にも見えない。

向きがある関係です。 $ν ≪ μ$ から $μ ≪ ν$ は出ません。

例：密度から作れば必ず絶対連続

$f$ を可測関数として $ν (A) = \int_{A} f d μ$ と定めます。 $μ (A) = 0$ なら積分は $0$ なので、 $ν (A) = 0$ 。

つまり密度から作った測度は、いつでも絶対連続です^[5]。易しいのはこちら向き。

ラドン・ニコディムの定理は、この逆を言います。絶対連続でありさえすれば、密度が必ず見つかるという主張です。

特異性と正反対の関係

特異性は絶対連続の対極にあります。 $ν ⊥ μ$ は、2 つの測度が交わらない場所に住んでいることをいう関係でした。

ν ≪ μ

$μ$ が見る場所でしか $ν$ も動かない。 $μ$ の零集合の上では $ν$ も静か

ν ⊥ μ

$μ$ が完全に無視する場所に $ν$ の全部が乗る。台が交わらない

どちらでもない測度もあります。一部が絶対連続で、残りが特異という混ざった状態。その分け方はルベーグ分解が扱います。

赤く囲んだ枠が $μ$ の零集合です。そこで $ν$ も $0$ になっているかどうかが、絶対連続かどうかの分かれ目になります。

ε と δ による言い換え

$ν$ が有限符号付き測度のときは、絶対連続を連続性らしい形に書き直せます^[5]。

任意の $ε > 0$ に対して $δ > 0$ がとれて、 $μ (A) < δ$ ならいつでも $∣ ν (A) ∣ < ε$ となる。これが $ν ≪ μ$ と同値です。

絶対連続という名前は、この形から来ています。 $μ$ で測って小さい集合は、 $ν$ で測っても一斉に小さい。

逆向きの証明が面白いところ。条件が破れているなら、 $∣ ν ∣ (A_{k}) \geq ε$ かつ $μ (A_{k}) < 2^{- k}$ となる列がとれます。

$B = k = 1 ⋂ \infty j = k ⋃ \infty A_{j}$

この $B$ は $μ (B) = 0$ でありながら $∣ ν ∣ (B) \geq ε$ を満たし、絶対連続でないことを示します。

例：有限でないと言い換えが崩れる

$(0, 1]$ にルベーグ測度 $m$ を入れ、 $ν (A) = \int_{A} \frac{d x}{x}$ と定めます。

$m (A) = 0$ なら積分も $0$ なので $ν ≪ m$ です。ところが $ν ((0, 1]) = \infty$ で、 $ν$ は有限ではありません。

$A_{n} = (0, \frac{1}{n}]$ を見ると $m (A_{n}) = \frac{1}{n} \to 0$ なのに $ν (A_{n}) = \infty$ のまま。 $ε$ - $δ$ の形は成り立ちません。

言い換えが使えるのは $ν$ が有限のときだけ、という但し書きがここで効いています。

ラドン・ニコディムの定理

$ν$ を $σ$ 有限な符号付き測度、 $μ$ を $σ$ 有限な測度とし、 $ν ≪ μ$ とします。このとき可測関数 $f$ が存在して、すべての可測集合で次が成り立ちます^[1]。

$ν (A) = \int_{A} f d μ$

$f$ は $μ$ について概収束の意味で一意に決まります。この $f$ をラドン・ニコディム微分と呼び、 $\frac{d ν}{d μ}$ と書く^[3]。

ヨハン・ラドンが $R^{n}$ で示し、オットー・ニコディムが一般の測度空間へ広げました。

証明の骨格

$ν$ を正部分と負部分に分けておけば、測度の場合に帰着します。有限の場合を押さえれば、 $σ$ 有限は切り貼りで済む。

鍵になるのは次の補題です。有限測度 $μ$ 、 $ν$ について、 $μ ⊥ ν$ でないならば、 $ε > 0$ と $μ (P) > 0$ を満たす集合 $P$ があって、 $P$ は符号付き測度 $ν - ε μ$ の正集合になります^[5]。

証明はハーン分解の繰り返しです。各 $n$ について $ν - \frac{1}{n} μ$ のハーン分解 $X = P_{n} \cup N_{n}$ をとり、 $P = ⋃ P_{n}$ 、 $N = ⋂ N_{n}$ と置きます。

$N$ の上では $0 \leq ν (N) \leq \frac{1}{n} μ (N)$ がすべての $n$ で成り立つので $ν (N) = 0$ 。したがって $μ (P) = 0$ なら特異、そうでなければ求める $ε$ が見つかります。

あとは $\int_{A} g d μ \leq ν (A)$ を満たす非負関数 $g$ を集め、その上限を $f$ とします。補題は「まだ足りない部分が残っていれば、もう少し足せる」ことを保証する道具です。

密度は概収束の意味で一意

$f$ と $g$ がどちらも密度だとします。すべての $A$ で積分が等しいので、差の積分は $0$ です。

$\int_{A} (f - g) d μ = 0$

ここで $A = {f > g}$ を選びます。被積分関数は $A$ の上で正なのに積分が $0$ なので、 $μ (A) = 0$ が従う。

${f < g}$ でも同じ議論が通り、 $f = g$ が $μ$ について概収束の意味で成り立ちます。密度は関数として一つに決まるわけではなく、零集合の違いを許して一つに決まる。

例：一様分布の密度

$[0, 2]$ にルベーグ測度 $m$ を入れ、 $[0, 1]$ の上の一様分布を $ν$ とします。

$m (A) = 0$ なら $ν (A) = 0$ なので $ν ≪ m$ です。密度は指示関数になります。

$\frac{d ν}{d m} (x) = 1_{[0, 1]} (x)$

$[1, 2]$ の上で密度が $0$ になっている点が読みどころ。 $ν$ が見ていない場所を、密度が $0$ という形で表しています。

例：正規分布の密度

$R$ の標準正規分布 $μ$ は、ルベーグ測度 $m$ に絶対連続です。

$\frac{d μ}{d m} (x) = \frac{1}{2 π} e^{- x^{2} /2}$

確率論で密度関数と呼んでいるものが、そのままラドン・ニコディム微分です。名前が 2 つあるだけで中身は同じ。

例：離散測度どうしの密度

$X = {1, 2, 3}$ に数え上げ測度 $μ$ を入れ、 $ν ({1}) = 0.5$ 、 $ν ({2}) = 0.2$ 、 $ν ({3}) = 0.3$ とします。

$μ$ の零集合は空集合だけなので $ν ≪ μ$ です。密度は各点の重みそのもの。

$d ν / d μ (1)$	$0.5$
$d ν / d μ (2)$	$0.2$
$d ν / d μ (3)$	$0.3$

有限集合では、密度と確率質量関数が完全に一致します。連続と離散を同じ言葉で扱える。それがこの定理の効き目です。

灰色の土台は動きません。赤い密度が上下するのに合わせて、青の測度だけが形を変えます。

連鎖律

3 つの測度が $ν ≪ μ ≪ λ$ と並んでいるとき、密度は掛け算でつながります^[3]。

$\frac{d ν}{d λ} = \frac{d ν}{d μ} \cdot \frac{d μ}{d λ}$

等号は $λ$ について概収束の意味です。記号の見た目どおりに約分できる、と覚えられます。

$μ$ と $ν$ が互いに絶対連続なら、逆数の規則も成り立ちます。

$\frac{d μ}{d ν} = (\frac{d ν}{d μ})^{- 1}$

例：平均をずらした正規分布

$λ$ をルベーグ測度、 $μ$ を標準正規分布、 $ν$ を平均 $m$ の正規分布とします。ルベーグ測度に対する密度は両方とも分かっています。

$\frac{d μ}{d λ} = \frac{1}{2 π} e^{- x^{2} /2}, \frac{d ν}{d λ} = \frac{1}{2 π} e^{- (x - m)^{2} /2}$

連鎖律を割り算の形で使うと、 $ν$ の $μ$ に対する密度が出ます。

$\frac{d ν}{d μ} (x) = e^{m x - m^{2} /2}$

指数の肩を展開すれば、たしかに $- (x - m)^{2} /2 = - x^{2} /2 + m x - m^{2} /2$ と合います。統計で尤度比と呼んでいる量そのもの。

σ 有限性を外すと定理が壊れる

$R$ のボレル集合族に、数え上げ測度 $μ$ とルベーグ測度 $ν$ を入れます。

$μ (A) = 0$ となるのは $A = \emptyset$ のときだけなので、 $ν ≪ μ$ が成り立ちます。ところが密度は存在しません^[4]。

背理法で見ます。密度 $f$ があれば、1 点集合について次が成り立つはず。

$0 = ν ({x}) = \int_{{x}} f d μ = f (x)$

すべての $x$ で $f (x) = 0$ となるので $ν$ は零測度になり、 $ν ([0, 1]) = 1$ に反します。 $μ$ が $σ$ 有限でないことが効いています。

絶対連続でも密度が可積分とは限らない

密度の存在と、密度が $L^{1}$ に入ることは別です。 $ν$ が有限でなければ、 $f$ の積分も有限になりません。

さきほどの $ν (A) = \int_{A} x^{- 1} d x$ がその例。密度 $x^{- 1}$ は存在しますが、 $(0, 1]$ の上で可積分ではない。

$ν$ が有限測度のときにかぎり、密度は $L^{1}$ の元になります。

$R$ 上で $ν ≪ μ$ が成り立ち、それでも密度 $d ν / d μ$ が存在しないのはどの場合ですか。

$μ$ がルベーグ測度で $ν$ が正規分布のとき
$μ$ が数え上げ測度で $ν$ がディラック測度のとき
$μ$ が数え上げ測度で $ν$ がルベーグ測度のとき
$μ$ がルベーグ測度で $ν$ がその 2 倍のとき

__RESULT__

数え上げ測度は $R$ の上で $σ$ 有限ではありません。密度があるとすると 1 点集合の値から $f \equiv 0$ が出てしまい、 $ν$ が零測度になって矛盾します。

確率論での顔

条件付き期待値は、ラドン・ニコディム微分として定義されます。部分 $σ$ 加法族の上で測度を作り、その密度をとる形。

尤度比、重要度サンプリングの重み、ギルサノフ変換の指数因子も、すべて $d ν / d μ$ の別名です^[2]。

情報量の側でも顔を出します。カルバック・ライブラー情報量は $lo g \frac{d ν}{d μ}$ の $ν$ に関する積分として書けます。

よくある誤り

絶対連続が対称な関係だと思う。

ν ≪ μ

と

μ ≪ ν

は別の主張です

ε

δ

の言い換えがいつでも使えると思う。

ν

が有限符号付き測度のときに限られます

σ

有限性を落としてよいと思う。数え上げ測度とルベーグ測度の組で反例が出ます

密度が関数として一意に決まると思う。一意なのは零集合の違いを除いてです

密度がいつでも可積分だと思う。

ν

が有限のときにかぎり

L^{1}

に入ります

ν (A) > 0

の場所で密度が正だと思う。零集合の上では値を勝手に変えられます

連鎖律の等号が各点で成り立つと思う。概収束の意味の等号です

絶対連続と特異のどちらかだと思う。混ざった測度もあり、その分け方がルベーグ分解です

参考文献

Radon–Nikodym theorem. Wikipedia（英語）.

Absolute continuity. Wikipedia（英語）.

Satz von Radon-Nikodým. Wikipedia（ドイツ語）.

Théorème de Radon-Nikodym. Wikipédia（フランス語）.

J. K. Hunter. *Measure Theory*. University of California at Davis, 2011.

$\nu(A) = \int_A f \, d\mu$ と書ける条件は、$\mu$ の零集合が $\nu$ の零集合でもあることだけ。これが絶対連続で、そのときの $f$ がラドン・ニコディム微分 $d\nu/d\mu$ です。正規分布の密度関数も離散分布の確率質量関数も、同じものの別名になる。連鎖律、$\varepsilon$-$\delta$ による言い換え、密度が零集合の違いを除いてしか決まらない事情まで扱います。数え上げ測度とルベーグ測度の組では $\sigma$ 有限性が崩れ、絶対連続なのに密度が存在しません。