近づき方が 4 通りあってどれも別物（概収束・測度収束・概一様収束・Lp 収束）

関数の列が近づくといっても、近づき方は 1 つではありません。測度論では 4 つを使い分けます。

どれも「近づく」ですが、含意の向きはばらばらです。どこで矢印が立ち、どこで立たないかを、以下では反例つきで押さえます。

分かれ目になるのは 2 つ。全体の測度が有限かどうかと、質量が逃げないかどうかです。

強さの順に一列に並ぶわけではありません。$L^p$ 収束と概収束はどちらも相手を含まない。この 2 つが交わる場所に測度収束が座っている、という配置になります^[4]。

定義を並べる

$(X,\mathcal{A},\mu )$ 上の可測関数列 $f_n$ と $f$ について、順に書きます^[1]。

概収束は $\mu (\{x:f_n(x)\nrightarrow f(x)\})=0$。測度収束は次の形です。

$$\forall \epsilon >0:\underset{n\to \infty }{\lim }\mu (\{x:|f_n(x)-f(x)|\ge \epsilon \})=0$$

概一様収束は、任意の $\delta >0$ に対し $\mu (E)<\delta$ となる $E$ がとれて、$X\setminus E$ の上で一様収束すること。

$L^p$ 収束は $\Vert f_n-f{\Vert }_{L^p}\to 0$ です。$p$ の値ごとに別の収束になります。

4 つのうち、概収束だけが各点の話をしています。残りは集合の測度や積分という、まとめて測った量の話。この違いが含意の向きを決めます。

各点の情報は、測度で測るとつぶれてしまう。逆に、まとめて小さいことから各点の振る舞いをとり出すのも難しい。矢印が片側にしか立たない理由はここにあります。

以下では、含意が立つ場合には証明を、立たない場合には反例を並べます。反例のほうが記憶に残るはずです。

$L^p$ 収束は測度収束を含む

チェビシェフの不等式を $|f_n-f{|}^p$ に当てます。

$$\mu (\{|f_n-f|\ge \epsilon \})\le \frac{1}{{\epsilon }^p}\int |f_n-f{|}^{p}d\mu$$

右辺は仮定から $0$ に落ちます。どの $p$ でも成り立つ、いちばん素直な含意です^[3]。

逆は成り立ちません。測度が小さくても、そこでの値が大きければ積分は落ちないから。

例：背の高くなる山

$[0,1]$ で $f_n=n\cdot 1_{(0,1/n)}$ とします。台の長さは $\frac{1}{n}$ なので測度収束します。

各点でも $0$ に収束するので概収束もします。ところが積分は変わりません。

$${\int }_0^1{f}_{n}dm=1$$

$L^1$ 収束はしません。質量が縮む台の上に閉じこめられて、外へ逃げていく形です。

$p>1$ でも $\Vert f_n{\Vert }_{L^p}^p=n^{p-1}\to \infty$ となり、事情はもっと悪くなります。

例：タイプライター列

$n=2^m+k$（$0\le k<2^m$）と書き、$f_n$ を区間 $\left[\frac{k}{2^m},\frac{k+1}{2^m}\right]$ の指示関数とします。

台の長さは $2^{-m}$ なので測度収束します。$L^1$ でも $\Vert f_n{\Vert }_{L^1}=2^{-m}\to 0$ なので収束する。

ところがどの点 $x$ でも、$f_n(x)$ は $0$ と $1$ を無限回行き来します。各点収束する点が 1 つもありません^[1]。

赤くなる瞬間が何度でも訪れます。振動が止まらないので、各点収束は望めません。

リースの定理：部分列なら概収束する

測度収束から各点収束は出ませんが、部分列を抜き出せば出ます^[1]。$\mu$ が $\sigma$ 有限なら成り立ちます。

証明は素朴で、$\mu (\{|f_{n_k}-f|\ge 2^{-k}\})<2^{-k}$ となる番号を順にとります。

右辺の総和が有限なので、ボレル・カンテリの補題から、その事象が無限回起きる点の集合は零集合です。

外では $|f_{n_k}-f|<2^{-k}$ が最後まで続くので、概収束します。タイプライター列でも、$m$ ごとに 1 本ずつ拾えば $0$ に各点収束する部分列がとれます。

エゴロフの定理

有限測度の空間では、概収束から概一様収束が出ます^[2]。カルロ・セヴェリーニが 1910 年、ドミトリ・エゴロフが 1911 年に独立して示しました。

任意の $\delta >0$ に対して $\mu (E)<\delta$ となる可測集合 $E$ がとれて、$X\setminus E$ の上では一様収束する。

証明は上からの連続性を使います。$E_n^k={\bigcup }_{j\ge n}\{|f_j-f|\ge \frac{1}{k}\}$ と置くと、$n$ について減少して零集合に落ちる。

上からの連続性が使えるのは、測度が有限だからです。ここが仮定の効きどころ。

例：無限測度ではエゴロフが崩れる

$\mathbb{R}$ の上で $f_n=1_{[n,n+1]}$ とします。どの点でも十分大きい $n$ から先は $0$ なので、各点収束します。

ところが有限測度の集合をどう除いても、残った側に山が乗る番号が必ずあります。一様収束にはなりません^[2]。

同じ例は、概収束から測度収束が出ないことも示します。

$$\mu (\{|f_n|\ge \frac{1}{2}\})=1$$

$n$ によらず $1$ のままです。山が遠くへ歩いていくだけで、痩せてはいない。

有限測度なら概収束から測度収束が出る

$\mu (X)<\infty$ なら、逆向きの矢印が立ちます。エゴロフから概一様収束が出て、そこから測度収束が従う。

直接示すこともできます。$A_n={\bigcup }_{j\ge n}\{|f_j-f|\ge \epsilon \}$ は減少列で、共通部分は零集合です。

上からの連続性より $\mu (A_n)\to 0$ で、$\{|f_n-f|\ge \epsilon \}\subset A_n$ から結論が出ます。

局所測度収束

無限測度の空間では、測度収束を有限測度の部分集合ごとに要求する形も使われます。局所測度収束といいます^[1]。

有限測度なら 2 つは同じもの。無限測度では、大域的なほうが真に強い条件になります。

さきほどの $1_{[n,n+1]}$ は、局所測度収束はします。どの有限測度の集合からも、いずれ山が出ていくため。

大域と局所の差が出るのは、無限の広さを使って質量を逃がせるからです。有限の空間には逃げ場がありません。

確率論でこの区別を気にせずに済むのは、確率空間の全測度が $1$ だから。測度論の側で反例が並ぶのは、無限測度を許しているためです。

関係を表にする

quiz で確かめる

よくある誤り

参考文献