導関数を積分するともとに戻る条件〜絶対連続関数と微積分学の基本定理

カントール関数は連続で単調、ほとんどいたるところ $F^{\prime }=0$ なのに $0$ から $1$ まで上がります。導関数を積分してももとに戻りません。

この破れをちょうど塞ぐ条件が絶対連続です^[1]。ジュゼッペ・ヴィタリが 1905 年に導入しました^[2]。

$$F(x)-F(a)={\int }_a^x{F}^{\prime }(t)dt$$

この等式が成り立つ関数の全体が、絶対連続な関数の全体とぴったり一致します。微積分学の基本定理が、ルベーグ積分で完全な形になる。

定義

$[a,b]$ 上の $f$ が絶対連続であるとは、任意の $\epsilon >0$ に対して $\delta >0$ がとれて、次が成り立つことをいいます^[1]。

互いに交わらない有限個の区間 $(a_1,b_1),\dots ,(a_N,b_N)$ について、長さの合計が $\delta$ 未満ならいつでも変化量の合計が $\epsilon$ 未満になる。

$$\sum _{i=1}^N(b_i-a_i)<\delta ⟹\sum _{i=1}^N|f(b_i)-f(a_i)|<\epsilon$$

一様連続の定義とよく似ています。違いは、1 つの区間ではなく有限個をまとめて数える点。

区間を 1 つだけにすると一様連続の条件そのものになります。だから絶対連続は一様連続より強い。

連続の階層

コンパクト区間の上では、条件の強さが一列に並びます^[3]。

どの矢印も逆向きには進みません。絶対連続と一様連続の境目は、カントール関数がはっきり見せてくれます^[4]。

有界変動との関係は包含になります。絶対連続なら必ず有界変動ですが、逆は成り立ちません。

例：リプシッツ関数は絶対連続

$|f(x)-f(y)|\le L|x-y|$ なら、変化量の合計が長さの合計で押さえられます。

$$\sum _i|f(b_i)-f(a_i)|\le L\sum _i(b_i-a_i)$$

$\delta =\epsilon /L$ ととれば定義を満たします。導関数が有界な $C^1$ 関数はすべてここに入る。

例：リプシッツでない絶対連続関数

$f(x)=\sqrt{x}$ を $[0,1]$ で考えます。原点で傾きが無限大になるので、リプシッツではありません。

それでも絶対連続です。導関数 $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ は $[0,1]$ で可積分なので、不定積分として書けるため。

$$\sqrt{x}={\int }_0^x\frac{dt}{2\sqrt{t}}$$

傾きが無限に立っても、可積分でありさえすれば絶対連続。階層が真に段階を持つことが分かります。

絶対連続なら有界変動

$\epsilon =1$ に対する $\delta$ をとり、$[a,b]$ を長さ $\delta /2$ 未満の小区間 $K$ 個に分けます。

各小区間の中では、どんな分割をしても変化量の合計は $1$ 未満です。全体では $K$ 未満に収まる。

$$V_a^b(f)\le K<\infty$$

有界変動なので、ほとんどいたるところ微分可能で、導関数は可積分になります^[3]。

基本定理の第 1 部

$f\in L^1[a,b]$ の不定積分を $F(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$ と置きます。このとき $F$ は絶対連続です。

証明は積分の絶対連続性そのもの。$\mu (A)<\delta$ なら ${\int }_A|f|<\epsilon$ となる $\delta$ がとれるので、区間の合計長さを $\delta$ 未満にすればよい。

さらにルベーグの微分定理から、ほとんどすべての $x$ で $F^{\prime }(x)=f(x)$ が成り立ちます。

基本定理の第 2 部

逆向きが本題です。$F$ が $[a,b]$ で絶対連続なら、次のすべてが成り立ちます^[1]。

3 番目が結論です。絶対連続でありさえすれば、導関数を積分してもとに戻る。

2 つを合わせると同値になります。$F$ が絶対連続であることと、可積分な関数の不定積分として書けることは同じ主張です。

区間の合計長さは $(2/3{)}^n$ で $0$ に近づきます。$y=x^2$ の側は変化量も落ちますが、カントール関数の側は $1$ のまま。

カントール関数はどこで外れるか

カントール集合を覆う第 $n$ 段の区間をとると、長さの合計は ${\left(\frac{2}{3}\right)}^n$ です。いくらでも小さくできます。

ところがカントール関数は、除いた真ん中の区間で値が変わりません。増加のすべてがこの区間たちの上で起きている。

$$\sum _i|F(b_i)-F(a_i)|=1$$

長さの合計をどれだけ縮めても、変化量の合計は $1$ から落ちません。$\epsilon =\frac{1}{2}$ に対する $\delta$ が存在しない。

ルジンの N 性質

零集合を零集合に写す性質を、ルジンの N 性質といいます^[3]。絶対連続な関数はこれを満たします。

カントール関数は満たしません。零集合であるカントール集合を、長さ $1$ の区間全体に写してしまうためです。

バナッハ・ザレツキの定理

3 つの条件をそろえると絶対連続と同値になります^[1]。

$f$ が絶対連続であることと、$f$ が連続かつ有界変動でルジンの N 性質を満たすことは同値です。

カントール関数は連続で有界変動なので、外れているのは N 性質だけ。図で見た「輪の外」の正体がこれです。

測度の言葉に直す

右連続な単調増加関数 $F$ からルベーグ・スティルチェス測度 ${\nu }_F$ を作ります。

$F$ が絶対連続であることと、${\nu }_F\ll m$ であることは同値です^[2]。関数の絶対連続と測度の絶対連続が、同じ名前で呼ばれる理由がここにあります。

密度も一致します。ラドン・ニコディム微分 $\frac{d{\nu }_F}{dm}$ が、ほとんどいたるところ $F^{\prime }$ に等しい。

部分積分と置換積分

$f$、$g$ がともに $[a,b]$ で絶対連続なら、積 $fg$ も絶対連続で部分積分が成り立ちます。

$${\int }_a^{b}f{g}^{\prime }dx=[fg{]}_a^b-{\int }_a^b{f}^{\prime }gdx$$

置換積分も、置換に使う関数が絶対連続なら通ります。カントール関数で置換すると壊れる。

古典的な計算規則をどこまで緩めても保てるか。その境目を絶対連続という条件が引いています。

よくある誤り

参考文献