優収束定理の「蓋」は要らなかった……一様可積分性とヴィタリの収束定理

優収束定理は、可積分な蓋 $g$ を 1 枚見つけることを要求します。蓋がなくても $L^1$ 収束する列はいくらでもあるので、この条件は必要より強い。

必要十分まで下ろした条件が一様可積分性です^[1]。裾のほうへ追いやった質量が、族全体で一斉に消えることをいいます。

$$\underset{M\to \infty }{\lim }\underset{n}{\sup }{\int }_{\{|f_n|>M\}}|f_n|d\mu =0$$

これと測度収束を合わせると、$L^1$ 収束と同値になります。ヴィタリの収束定理と呼ばれる形です^[2]。

定義の 2 つの顔

上の形は裾で切った書き方です。同じ条件は、集合の側から書くこともできます^[3]。

任意の $\epsilon >0$ に対して $\delta >0$ がとれて、$\mu (A)<\delta$ ならすべての $n$ で ${\int }_A|f_n|d\mu <\epsilon$ となる。

積分の絶対連続性を、族全体で一斉に成り立たせた条件です。$\delta$ が $n$ によらない点が要。

$\sigma$ 有限な測度空間では、$L^1$ 有界性と合わせて 2 つの言い方が一致します。1 つの関数の可積分性ではなく、族の性質であるところが違い^[3]。

例：可積分な蓋があれば一様可積分

$|f_n|\le g$ がすべての $n$ で成り立ち、$g$ が可積分だとします。裾の積分は蓋の裾で押さえられる。

$${\int }_{\{|f_n|>M\}}|f_n|d\mu \le {\int }_{\{g>M\}}gd\mu$$

右辺は $n$ に依存せず、$M\to \infty$ で $0$ に落ちます。優収束定理の仮定は、一様可積分性を含んでいます。

つまり優収束定理はヴィタリの定理の特別な場合。蓋という強い形で条件を課していたことになります。

例：蓋がないのに一様可積分な列

$[0,1]$ の上で、重みを付けたタイプライター列を作ります。$n=2^m+k$（$0\le k<2^m$）と書き、次のように定めます。

$$f_n=2^{m/2}\cdot 1_{[k/2^m,(k+1)/2^m]}$$

積分は $2^{m/2}\cdot 2^{-m}=2^{-m/2}$ で $0$ に落ちます。裾で切っても、残るのは同じ $2^{-m/2}$ なので一様可積分です。

ところが ${\sup }_n{f}_n(x)$ はどの点でも $\infty$ になります。各 $m$ でちょうど 1 本ずつ、高さ $2^{m/2}$ の山が $x$ を通るため。

可積分な蓋は存在しません。優収束定理は使えず、ヴィタリの定理だけが $L^1$ 収束を出します。

例：一様可積分でない列

$[0,1]$ で $f_n=n\cdot 1_{(0,1/n)}$ とします。各点で $0$ に収束し、測度収束もします。

裾を $M$ で切ると、$n>M$ の項では山が丸ごと残ります。

$${\int }_{\{f_n>M\}}{f}_{n}dm=1(n>M)$$

上限は $M$ をどれだけ上げても $1$ のまま。一様可積分ではありません。

実際 $\Vert f_n{\Vert }_{L^1}=1$ なので $L^1$ 収束もしません。定理が正しく失敗しています。

赤い線が下がらないことが、一様可積分でないことの意味です。$M$ をどこまで上げても、族のどこかに切り残しがある。

ヴィタリの収束定理

$\mu (X)<\infty$ とします。可測関数列 $f_n$ について、次の 2 つが同値です^[2]。

$p=1$ で読めば、$L^1$ 収束は「測度収束かつ一様可積分」と言い切れます。同値なので、片方から片方が必ず出る。

ジュゼッペ・ヴィタリの名前が付いています。優収束定理を、蓋の存在から一様可積分性へ緩めた形です^[2]。

無限測度では締まりが要る

$\mu (X)=\infty$ のときは、条件がもう 1 つ増えます。任意の $\epsilon >0$ に対して有限測度の集合 $X_{\epsilon }$ がとれて、その外での積分が一斉に $\epsilon$ 未満になること^[2]。

一様緊密性と呼びます。質量が無限の彼方へ逃げるのを止める条件です。

$\mathbb{R}$ の上で $f_n=\frac{1}{n}{1}_{[0,n]}$ を見ます。高さが $\frac{1}{n}$ に落ちるので測度収束し、裾で切っても $M\ge 1$ なら何も残らないので一様可積分。

$${\int }_{\mathbb{R}}{f}_{n}dm=1$$

それでも積分は $1$ のままです。台が右へ伸びていき、どの有限区間の外にも質量が残る。緊密でないためです。

ド・ラ・ヴァレ・プーサンの判定条件

一様可積分性を確かめる道具があります。$G(t)/t\to \infty$ となる増加凸関数 $G$ が存在して、次を満たせばよい^[1]。

$$\underset{n}{\sup }{\int }_{X}G(|f_n|)d\mu <\infty$$

逆も成り立つので、これは同値な言い換えです。$G$ を 1 つ見つけるだけで判定が済みます。

$G(t)=t^p$（$p>1$）を選ぶと、有限測度の上では $L^p$ 有界な族が一様可積分だと分かります。$G(t)=t{\log }^{+}t$ もよく使われる選び方。

裾で切った定義と違い、上限を 1 回計算すれば終わります。実際の判定はこちらのほうが楽。

例：$L^2$ 有界な族

$[0,1]$ の上で ${\sup }_n\Vert f_n{\Vert }_{L^2}\le C$ とします。$G(t)=t^2$ を当てれば判定条件を満たすので、一様可積分です。

裾の側から直接示すこともできます。コーシー・シュワルツの不等式から次が出る。

$${\int }_{\{|f_n|>M\}}|f_n|d\mu \le \Vert f_n{\Vert }_{L^2}\cdot \mu (\{|f_n|>M\}{)}^{1/2}\le \frac{C^2}{M^{1/2}}$$

最後はチェビシェフの不等式です。$M\to \infty$ で $0$ に落ちるので、たしかに一様可積分。

$p=1$ では成り立ちません。$L^1$ 有界なだけの族は、背の高くなる山のように裾へ質量を逃がせます。

確率論での顔

確率変数の族 $\{X_n\}$ が一様可積分であることは、$\mathbb{E}[|X_n|1_{\{|X_n|\ge K\}}]$ が一斉に小さくなること^[1]。

マルチンゲールの収束定理で中心的な役割を果たします^[4]。一様可積分なマルチンゲールは、概収束と $L^1$ 収束の両方をします。

条件付き期待値の族 $\{\mathbb{E}[X\mid \mathcal{G}]\}$ は、$X$ が可積分なら $\mathcal{G}$ の選び方によらず一様可積分。この事実がよく使われます。

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よくある誤り

参考文献