優収束定理の「蓋」は要らなかった……一様可積分性とヴィタリの収束定理

優収束定理は、可積分な蓋 $g$ を 1 枚見つけることを要求します。蓋がなくても $L^{1}$ 収束する列はいくらでもあるので、この条件は必要より強い。

必要十分まで下ろした条件が一様可積分性です^[1]。裾のほうへ追いやった質量が、族全体で一斉に消えることをいいます。

$M \to \infty lim n sup \int_{{∣ f_{n} ∣ > M}} ∣ f_{n} ∣ d μ = 0$

これと測度収束を合わせると、 $L^{1}$ 収束と同値になります。ヴィタリの収束定理と呼ばれる形です^[2]。

定義の 2 つの顔

上の形は裾で切った書き方です。同じ条件は、集合の側から書くこともできます^[3]。

任意の $ε > 0$ に対して $δ > 0$ がとれて、 $μ (A) < δ$ ならすべての $n$ で $\int_{A} ∣ f_{n} ∣ d μ < ε$ となる。

積分の絶対連続性を、族全体で一斉に成り立たせた条件です。 $δ$ が $n$ によらない点が要。

$σ$ 有限な測度空間では、 $L^{1}$ 有界性と合わせて 2 つの言い方が一致します。1 つの関数の可積分性ではなく、族の性質であるところが違い^[3]。

例：可積分な蓋があれば一様可積分

$∣ f_{n} ∣ \leq g$ がすべての $n$ で成り立ち、 $g$ が可積分だとします。裾の積分は蓋の裾で押さえられる。

$\int_{{∣ f_{n} ∣ > M}} ∣ f_{n} ∣ d μ \leq \int_{{g > M}} g d μ$

右辺は $n$ に依存せず、 $M \to \infty$ で $0$ に落ちます。優収束定理の仮定は、一様可積分性を含んでいます。

つまり優収束定理はヴィタリの定理の特別な場合。蓋という強い形で条件を課していたことになります。

例：蓋がないのに一様可積分な列

$[0, 1]$ の上で、重みを付けたタイプライター列を作ります。 $n = 2^{m} + k$ （ $0 \leq k < 2^{m}$ ）と書き、次のように定めます。

$f_{n} = 2^{m /2} \cdot 1_{[k / 2^{m}, (k + 1) / 2^{m}]}$

積分は $2^{m /2} \cdot 2^{- m} = 2^{- m /2}$ で $0$ に落ちます。裾で切っても、残るのは同じ $2^{- m /2}$ なので一様可積分です。

ところが $sup_{n} f_{n} (x)$ はどの点でも $\infty$ になります。各 $m$ でちょうど 1 本ずつ、高さ $2^{m /2}$ の山が $x$ を通るため。

可積分な蓋は存在しません。優収束定理は使えず、ヴィタリの定理だけが $L^{1}$ 収束を出します。

例：一様可積分でない列

$[0, 1]$ で $f_{n} = n \cdot 1_{(0, 1/ n)}$ とします。各点で $0$ に収束し、測度収束もします。

裾を $M$ で切ると、 $n > M$ の項では山が丸ごと残ります。

$\int_{{f_{n} > M}} f_{n} d m = 1 (n > M)$

上限は $M$ をどれだけ上げても $1$ のまま。一様可積分ではありません。

実際 $∥ f_{n} ∥_{L^{1}} = 1$ なので $L^{1}$ 収束もしません。定理が正しく失敗しています。

赤い線が下がらないことが、一様可積分でないことの意味です。 $M$ をどこまで上げても、族のどこかに切り残しがある。

ヴィタリの収束定理

$μ (X) < \infty$ とします。可測関数列 $f_{n}$ について、次の 2 つが同値です^[2]。

f_{n}

が

f

に

L^{p}

で収束する。

f_{n}

が

f

に測度収束し、

{∣ f_{n} ∣^{p}}

が一様可積分である。

$p = 1$ で読めば、 $L^{1}$ 収束は「測度収束かつ一様可積分」と言い切れます。同値なので、片方から片方が必ず出る。

ジュゼッペ・ヴィタリの名前が付いています。優収束定理を、蓋の存在から一様可積分性へ緩めた形です^[2]。

優収束定理

可積分な蓋 $g$ を 1 枚見つける。十分条件で、逆は成り立たない

ヴィタリの収束定理

測度収束と一様可積分性。必要十分条件で、蓋の要らない列も拾える

無限測度では締まりが要る

$μ (X) = \infty$ のときは、条件がもう 1 つ増えます。任意の $ε > 0$ に対して有限測度の集合 $X_{ε}$ がとれて、その外での積分が一斉に $ε$ 未満になること^[2]。

一様緊密性と呼びます。質量が無限の彼方へ逃げるのを止める条件です。

$R$ の上で $f_{n} = \frac{1}{n} 1_{[0, n]}$ を見ます。高さが $\frac{1}{n}$ に落ちるので測度収束し、裾で切っても $M \geq 1$ なら何も残らないので一様可積分。

$\int_{R} f_{n} d m = 1$

それでも積分は $1$ のままです。台が右へ伸びていき、どの有限区間の外にも質量が残る。緊密でないためです。

ド・ラ・ヴァレ・プーサンの判定条件

一様可積分性を確かめる道具があります。 $G (t) / t \to \infty$ となる増加凸関数 $G$ が存在して、次を満たせばよい^[1]。

$n sup \int_{X} G (∣ f_{n} ∣) d μ < \infty$

逆も成り立つので、これは同値な言い換えです。 $G$ を 1 つ見つけるだけで判定が済みます。

$G (t) = t^{p}$ （ $p > 1$ ）を選ぶと、有限測度の上では $L^{p}$ 有界な族が一様可積分だと分かります。 $G (t) = t lo g^{+} t$ もよく使われる選び方。

裾で切った定義と違い、上限を 1 回計算すれば終わります。実際の判定はこちらのほうが楽。

例： $L^{2}$ 有界な族

$[0, 1]$ の上で $sup_{n} ∥ f_{n} ∥_{L^{2}} \leq C$ とします。 $G (t) = t^{2}$ を当てれば判定条件を満たすので、一様可積分です。

裾の側から直接示すこともできます。コーシー・シュワルツの不等式から次が出る。

$\int_{{∣ f_{n} ∣ > M}} ∣ f_{n} ∣ d μ \leq ∥ f_{n} ∥_{L^{2}} \cdot μ ({∣ f_{n} ∣ > M})^{1/2} \leq \frac{C ^{2}}{M ^{1/2}}$

最後はチェビシェフの不等式です。 $M \to \infty$ で $0$ に落ちるので、たしかに一様可積分。

$p = 1$ では成り立ちません。 $L^{1}$ 有界なだけの族は、背の高くなる山のように裾へ質量を逃がせます。

確率論での顔

確率変数の族 ${X_{n}}$ が一様可積分であることは、 $E [∣ X_{n} ∣ 1_{{∣ X_{n} ∣ \geq K}}]$ が一斉に小さくなること^[1]。

マルチンゲールの収束定理で中心的な役割を果たします^[4]。一様可積分なマルチンゲールは、概収束と $L^{1}$ 収束の両方をします。

条件付き期待値の族 ${E [X ∣ G]}$ は、 $X$ が可積分なら $G$ の選び方によらず一様可積分。この事実がよく使われます。

quiz で確かめる

$[0, 1]$ 上で $f_{n} \to 0$ が測度収束の意味で成り立つとき、 $L^{1}$ 収束を保証するのはどれですか。

$sup_{n} ∥ f_{n} ∥_{L^{1}} < \infty$ であること
${f_{n}}$ が一様可積分であること
$f_{n}$ がすべて連続であること
$f_{n}$ が各点で単調に減ること

__RESULT__

$L^{1}$ 有界なだけでは足りず、 $n 1_{(0, 1/ n)}$ が反例になります。一様可積分性を足すとヴィタリの定理が使え、必要十分な条件になります。

よくある誤り

一様可積分性が 1 つの関数の性質だと思う。族についての性質です

可積分な蓋がないと

L^{1}

収束しないと思う。重み付きタイプライター列が反例です

L^{1}

有界なら一様可積分だと思う。背の高くなる山が反例です

L^{p}

有界なら一様可積分だと思う。

p > 1

と有限測度が要ります

無限測度でも条件が 2 つで済むと思う。一様緊密性がもう 1 つ要ります

優収束定理が必要十分だと思う。必要十分なのはヴィタリの定理のほうです

ド・ラ・ヴァレ・プーサンの

G

に凸性が要らないと思う。増加凸で

G (t) / t \to \infty

が条件です

一様可積分なら概収束すると思う。収束の種類は別に仮定が要ります

参考文献

Uniform integrability. Wikipedia（英語）.

Vitali convergence theorem. Wikipedia（英語）.

Gleichgradige Integrierbarkeit. Wikipedia（ドイツ語）.

Intégrabilité uniforme. Wikipédia（フランス語）.

可積分な蓋を 1 枚見つける条件は、$L^1$ 収束には強すぎます。裾へ追いやった質量が族全体で一斉に消える、それが一様可積分性。測度収束と合わせると $L^1$ 収束と同値になり、これがヴィタリの収束定理です。重みを付けたタイプライター列は、どの点でも上限が発散するので蓋を持ちません。それでも一様可積分なので $L^1$ 収束する。$G(t)/t \to \infty$ となる凸関数を 1 つ探すだけで判定が済む方法も扱います。

優収束定理の「蓋」は要らなかった……一様可積分性とヴィタリの収束定理

定義の 2 つの顔

例：可積分な蓋があれば一様可積分

例：蓋がないのに一様可積分な列

例：一様可積分でない列

ヴィタリの収束定理

無限測度では締まりが要る

ド・ラ・ヴァレ・プーサンの判定条件

例：L2 有界な族

確率論での顔

quiz で確かめる

よくある誤り

参考文献

例： $L^{2}$ 有界な族