「よい集合の原理」で測度の一致を確かめる（π-λ 定理と単調族定理）

2 つの測度が $\sigma$ 加法族の全体で一致することを、直接確かめるのは無理です。ボレル集合は書き下せないほど多い。

代わりに、生成する小さい族の上で一致することだけを見ます。それで全体が決まる。ディンキンの $\pi$-$\lambda$ 定理がその保証を与えます^[1]。

条件は 2 つ。小さい族が有限交叉で閉じていること、そして「一致する集合の全体」が $\lambda$ 系になっていること。どちらも確かめやすい形をしています。

$\pi$ 系

集合族 $\mathcal{P}$ が有限交叉で閉じているとき、$\pi$ 系といいます。

$$A,B\in \mathcal{P}⟹A\cap B\in \mathcal{P}$$

条件はこれだけ。$\mathbb{R}$ の半直線 $(-\infty ,a]$ の全体、区間 $(a,b]$ の全体、長方形の全体などが $\pi$ 系になります。

どれもボレル集合族を生成します。$\pi$ 系は「生成系として使いやすい形に整えたもの」だと思えば済む。

$\lambda$ 系

次の 3 条件を満たす族を $\lambda$ 系、またはディンキン系といいます^[3]。

$\sigma$ 加法族より弱い条件です。合併について要求しているのは増加列だけで、勝手な可算合併では閉じていなくてよい。

なぜこの形かというと、測度の性質がちょうどこの 3 つに対応するためです。全体の値、差の値、下からの連続性。

$\sigma$ 加法族は両方を兼ねる

$\pi$ 系でも $\lambda$ 系でもある族は、$\sigma$ 加法族になります^[1]。逆も明らかなので、両者は同値です。

証明は補集合と有限合併を作るだけ。$A^c=X\setminus A$ は条件 2 から、$A\cup B=(A^c\cap B^c{)}^c$ は $\pi$ 系の性質からできます。

可算合併は、有限合併の増加列として条件 3 で拾えます。3 つの条件が過不足なく効いている形。

ディンキンの $\pi$-$\lambda$ 定理

$\mathcal{P}$ を $\pi$ 系、$\mathcal{D}$ を $\lambda$ 系とし、$\mathcal{P}\subset \mathcal{D}$ とします。このとき次が成り立ちます^[1]。

$$\sigma (\mathcal{P})\subset \mathcal{D}$$

シェルピニスキとディンキンの名前が付いています。証明は、$\mathcal{P}$ を含む最小の $\lambda$ 系が $\pi$ 系でもあることを示す形。

そこまで示せば前の節から $\sigma$ 加法族になり、$\sigma (\mathcal{P})$ を含むと分かります。

よい集合の原理

使い方はいつも同じ形をしています^[3]。示したい性質を持つ集合の全体を $\mathcal{D}$ と置き、次の 2 つを確かめる。

「よい集合の原理」と呼ばれる型です。$\sigma$ 加法族の元を 1 つずつ調べる代わりに、族の形だけを見る。

測度の一意性定理

$\mathcal{P}$ を $\pi$ 系、$\mu$ と $\nu$ を $\sigma (\mathcal{P})$ 上の測度とします。$\mathcal{P}$ の上で値が一致し、さらに次を満たす列があるとします。

$$X_n\in \mathcal{P},X_n\uparrow X,\mu (X_n)<\infty$$

このとき $\mu$ と $\nu$ は $\sigma (\mathcal{P})$ の全体で一致します^[1]。

証明は ${\mathcal{D}}_n=\{A:\mu (A\cap X_n)=\nu (A\cap X_n)\}$ が $\lambda$ 系であることを見るだけ。差の条件は有限性から引き算ができて、増加列の条件は下からの連続性から出ます。

$\mathcal{P}\subset {\mathcal{D}}_n$ なので $\sigma (\mathcal{P})\subset {\mathcal{D}}_n$。あとは $n\to \infty$ で下からの連続性を当てれば終わりです。

例：分布関数が測度を決める

$\mathbb{R}$ 上の確率測度 $\mu$ に対し、$F(x)=\mu ((-\infty ,x])$ を分布関数といいます。

半直線の全体は $\pi$ 系で、ボレル集合族を生成します。$X_n=(-\infty ,n]$ が増加列で全体を覆い、測度は有限。

したがって $F$ が一致すれば $\mu$ が一致します。分布関数 1 本で確率測度が決まる、という事実の根拠がこれです。

ルベーグ測度が区間の長さで決まることも、同じ議論で出ます。

例：$\pi$ 系でないと崩れる

$X=\{a,b,c,d\}$ を 4 点集合とし、生成系を $\mathcal{C}=\{\{a,b\},\{a,c\}\}$ とします。

$\mu$ を一様測度、$\nu$ を $a$ と $d$ に $\frac{1}{2}$ ずつ置いた測度とします。$\mathcal{C}$ の元では両方とも $\frac{1}{2}$ で一致。

ところが $\{a,b\}\cap \{a,c\}=\{a\}$ で値が分かれます。

$$\mu (\{a\})=\frac{1}{4},\nu (\{a\})=\frac{1}{2}$$

$\mathcal{C}$ は交叉で閉じていません。閉じていないだけで、一意性は壊れます。

3 つの集合では一致し、$\{a\}$ で初めて分かれます。生成系を $\pi$ 系にしておかないと、この穴が塞げません。

単調族定理

似た役割をする定理がもう 1 つあります^[2]。単調族とは、増加列の合併と減少列の共通部分で閉じた族のこと。

代数 $\mathcal{A}$（有限合併と補集合で閉じた族）を含む最小の単調族は、$\sigma (\mathcal{A})$ と一致します。

$\pi$-$\lambda$ 定理と比べると、生成系に課す条件が強く、族に課す条件が弱い。どちらを使うかは、確かめやすいほうで決めます。

関数版の単調族定理

集合ではなく関数で使う形もあります^[2]。$\pi$ 系 $\mathcal{A}$ の元の指示関数を含み、線形で、有界な単調極限で閉じた関数の族 $\mathcal{H}$ を考えます。

このとき $\mathcal{H}$ は、$\sigma (\mathcal{A})$ 可測な有界関数をすべて含みます。

フビニの定理の証明で、切り口の可測性を示すときに使われる形です。指示関数で確かめて、単関数、非負可測関数、可積分関数へと持ち上げる筋道。

例：独立性の判定

確率論では、$\sigma$ 加法族の独立性を生成系だけで確かめます。

${\mathcal{P}}_1$、${\mathcal{P}}_2$ を $\pi$ 系とし、その元どうしで $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ が成り立つとします。すると $\sigma ({\mathcal{P}}_1)$ と $\sigma ({\mathcal{P}}_2)$ が独立になる。

確率変数の独立性を分布関数だけで判定できるのは、この事実によります。$\pi$ 系であることが効く場面。

よくある誤り

参考文献