積分を先に決めて測度をあとから取り出す - ラドン測度とリースの表現定理

積分は関数に数を返す写像です。線形で、非負の関数には非負の値を返す。この 2 つの性質だけを持つ写像を集めると、そこに現れるのは測度による積分だけでした^[1]。

$$\psi (f)={\int }_{X}fd\mu$$

局所コンパクトハウスドルフ空間 $X$ の上で、コンパクト台の連続関数 $C_c(X)$ に対する正線形汎関数は、すべてこの形に書けます。しかも $\mu$ は一意。

リース・マルコフ・角谷の表現定理と呼ばれます。測度を先に作らずに、積分の側から測度をとり出す道が開けます。

測度論はふつう、集合の大きさを決めてから積分を作ります。この定理はその順序を逆にできると言っている。積分のほうが基本的な概念だという見方が、ここから開けます。

ラドン測度

定理に現れる $\mu$ は、ただのボレル測度ではありません。3 つの条件を満たすものをラドン測度といいます^[2]。

位相と測度をつなぐ条件です。開集合とコンパクト集合という位相の言葉で、測度の値が決まる。

ルベーグ測度、ディラック測度、局所コンパクト群のハール測度、ポーランド空間上の確率測度は、どれもラドン測度です。

$\mathbb{R}$ 上の数え上げ測度は違います。コンパクト集合の測度が有限になりません^[2]。

正線形汎関数

$\psi :C_c(X)\to \mathbb{R}$ が線形で、$f\ge 0$ ならいつでも $\psi (f)\ge 0$ となるとき、正線形汎関数といいます。

有界性は仮定しません。正であることから、コンパクト集合ごとの有界性が自動的に出るためです。

積分がこの条件を満たすことは明らか。定理の中身は逆向きで、条件を満たすものが積分しかないという主張です。

定理と一意性

$X$ を局所コンパクトハウスドルフ空間、$\psi$ を $C_c(X)$ 上の正線形汎関数とします。このときボレル測度 $\mu$ が存在して、すべての $f\in C_c(X)$ で次が成り立ちます^[1]。

$$\psi (f)={\int }_{X}fd\mu$$

正則性を課さないと $\mu$ は一意になりません。内部正則なものがちょうど 1 つ、準正則なものがちょうど 1 つ存在する、という形で述べます^[3]。

正則性は、測度を位相に縛りつけるための条件です。縛らないと、連続関数からは見えない差を持つ測度が入り込みます。

証明の骨格

開集合から測度を作ります。$U$ が開なら、$U$ の中に台を持つ関数での上限をとる。

$$\mu (U)=\sup \{\psi (f):f\in C_c(X),0\le f\le 1,\mathrm{supp}f\subset U\}$$

一般の集合には、外側の開集合による下限で値を与えます。これが外測度になることを確かめ、カラテオドリの条件でボレル集合が可測だと示す。

最後に $\psi (f)=\int fd\mu$ を、単関数による近似で確かめます。外測度から測度を作る流れは、ルベーグ測度の構成と同じ型です。

例：ディラック測度は評価汎関数

$\psi (f)=f(x_0)$ と定めます。線形で、非負関数には非負の値を返すので正線形汎関数です。

定理から測度が出るはずで、それが ${\delta }_{x_0}$ です。

$$f(x_0)={\int }_{X}fd{\delta }_{x_0}$$

点で値を読むという操作が、測度による積分として書き直されました。物理でデルタ関数と呼ばれるものの正体です。

例：積分からルベーグ測度を作る

$C_c(\mathbb{R})$ の上で、リーマン積分を汎関数と見ます。連続関数のリーマン積分は初等的に定義できます。

正線形汎関数なので、定理からラドン測度 $\mu$ が出ます。これがルベーグ測度です^[3]。

直方体の体積から外測度を作る道筋を通らずに、測度が手に入りました。積分を先に、測度を後に作る順序です。

平行移動不変性も汎関数の側で確かめられます。$\psi (f(\cdot -a))=\psi (f)$ が成り立てば、対応する測度も平行移動不変。

$C_0(X)$ の双対空間

正でない汎関数まで広げると、符号付き測度が出てきます。無限遠で消える連続関数の空間 $C_0(X)$ を考えます。

その上の有界線形汎関数は、全変動有限な正則符号付きボレル測度と 1 対 1 に対応します^[1]。

$$\Vert \psi \Vert =\Vert \mu \Vert =|\mu |(X)$$

汎関数のノルムが、測度の全変動ノルムにぴったり一致します。符号付き測度の全変動を定義した意味が、ここで回収される形。

複素数値の場合も同じで、複素測度が対応します。

測度の弱 $\ast$ 収束

双対空間として見ると、測度に弱 $\ast$ 位相が入ります。${\mu }_n\to \mu$ とは、すべての $f\in C_0(X)$ で積分が収束すること。

$$\int fd{\mu }_n⟶\int fd\mu$$

確率論で分布収束と呼ぶものです。測度そのものの近さではなく、連続関数で見たときの近さを測ります。

2 つの数値が近づいていきます。密度は各点では発散するのに、汎関数として見れば行き先がある。弱 $\ast$ 収束が拾っているのはこの近さです。

歴史

フリジェシュ・リースが 1909 年に $[0,1]$ の連続関数について示しました^[1]。当時はスティルチェス積分の形で述べられています。

アンドレイ・マルコフが 1938 年に一部の非コンパクト空間へ、角谷静夫が 1941 年にコンパクトハウスドルフ空間へ広げました。3 人の名前が並ぶのはこのためです。

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よくある誤り

参考文献