重なった球から交わらないものを選ぶ｜ヴィタリの被覆補題と極大関数

重なり合う球の集まりから、交わらないものだけを選び出す。選んだ球を 3 倍にふくらませると、もとの全部が覆えます^[1]。

覆う量は $3^n$ 倍までしか増えません。重なりを数えずに全体の測度を押さえられるので、微分定理の証明がここから動き出します。

もう一つの道具が極大関数です。点のまわりで平均をとり、半径を動かして上限をとったもの。この 2 つを組み合わせると、ハーディ・リトルウッドの不等式が出ます^[2]。

有限版の被覆補題

${\mathbb{R}}^n$ の開球を有限個 $B_1,\dots ,B_N$ とします。このとき交わらない部分族 $B_1^{\prime },\dots ,B_M^{\prime }$ が選べて、次が成り立ちます^[5]。

$$\mu \left(\bigcup _{i=1}^N{B}_i\right)\le 3^n\sum _{j=1}^M\mu (B_j^{\prime })$$

ジュゼッペ・ヴィタリが 1908 年に示した被覆定理に名前が由来します^[3]。証明は貪欲な選び方そのもの。

証明：大きいものから選んで交わるものを捨てる

いちばん半径の大きい球を $B_1^{\prime }$ とし、それに交わる球をすべて捨てます。残りからまた最大の球を選び、同じことを繰り返す。

球が尽きたところで止めれば、選んだ族は互いに交わりません。捨てた球は、そのとき選んだ球より半径が小さく、かつ交わっています。

半径 $r$ の球に交わる、半径 $r$ 以下の球は、もとの球を 3 倍にふくらませた中に丸ごと入る。中心どうしの距離が $2r$ 以下だからです。

$$\bigcup _{i=1}^N{B}_i\subset \bigcup _{j=1}^M\widehat{B_j^{\prime }}$$

$n$ 次元で半径を 3 倍にすると体積は $3^n$ 倍になります。これが定数の正体。

薄い青の帯が、捨てた灰色の球をすべて飲み込んでいます。選んだ球だけで測度を数えても、$3^n$ 倍を見込めば足りる。

無限版では 5 倍になる

球が無限個あるときは、半径に上限があれば可算個の交わらない部分族がとり出せます^[4]。ただし定数は 3 ではなく 5 になります。

最大の半径が存在しないため、上限の $\frac{1}{2}$ より大きい球を選ぶという妥協が要る。そのぶん、ふくらませる倍率が上がります。

有限版では 3 より大きい定数ならどれでも成り立ちますが、3 ちょうどは成り立ちません^[1]。

極大関数の定義

局所可積分な $f$ に対し、極大関数 $Mf$ を次で定めます^[2]。

$$Mf(x)=\underset{r>0}{\sup }\frac{1}{|B_r(x)|}{\int }_{B_r(x)}|f(y)|dy$$

$x$ を中心とする球で $|f|$ の平均をとり、半径を全部試して上限をとる。ゴッドフリー・ハーディとジョン・リトルウッドが 1930 年に導入しました。

球の代わりに立方体を使っても本質は変わりません。ただし細長い長方形は使えない。縦横比を無制限に伸ばすと、体積が $0$ に縮んでも平均が値に近づかないためです。

概収束の意味で等しい 2 つの関数は、同じ極大関数を持ちます。

例：区間の指示関数

$f=1_{[-1,1]}$ を $\mathbb{R}$ で考えます。$|x|<1$ なら半径を $0$ に近づけて平均が $1$ になるので、$Mf(x)=1$。

$x>1$ では、区間に届く半径のうち $r=x+1$ が最良になります。平均は次の値。

$$Mf(x)=\frac{2}{2(x+1)}=\frac{1}{x+1}$$

もとの $f$ は $|x|>1$ で $0$ なのに、$Mf$ は $0$ になりません。遠くでも $1/|x|$ の速さでしか落ちない。

極大関数は下半連続

$Mf$ の可測性は、集合 $E_t=\{x:Mf(x)>t\}$ が開集合であることから出ます^[5]。

$x\in E_t$ なら、ある半径 $r$ で平均が $t$ を超えます。少し大きい $r^{\prime }$ を選んでも、まだ $t$ を超えるようにできる。

$|x^{\prime }-x|<r^{\prime }-r$ を満たす $x^{\prime }$ に対して $B_r(x)\subset B_{r^{\prime }}(x^{\prime })$ が成り立ち、平均の評価が引き継がれます。よって $x^{\prime }$ も $E_t$ に入る。

開集合の逆像で書けるので、$Mf$ はボレル可測です。上限をとる操作が可測性を壊さない、めずらしい形。

極大関数は可積分にならない

$f\in L^1({\mathbb{R}}^n)$ が零関数でなければ、$Mf$ は $L^1$ に入りません^[2]。遠方での減衰が遅すぎます。

$|x|\ge a$ のとき、半径 $2|x|$ の球は原点まわりの $B_a(0)$ を含みます。そこから次の下からの評価が出る。

$$Mf(x)\ge \frac{C}{|x{|}^n}{\int }_{B_a(0)}|f(y)|dy$$

$|x{|}^{-n}$ は遠方で可積分ではありません。$Mf$ が可積分なら右辺の積分がすべての $a$ で $0$ になり、$f=0$ が従います。

例：局所可積分ですらない場合

もっと悪い例もあります。$0<x<\frac{1}{2}$ で $f(x)=\frac{1}{x{\log }^{2}x}$、それ以外で $0$ と定めます。

置換 $u=\log x$ で確かめると $f\in L^1(\mathbb{R})$ です。ところが $0<x<\frac{1}{2}$ で次の評価が立ちます^[5]。

$$Mf(x)\ge \frac{1}{2x|\log x|}$$

右辺は原点の近くで可積分ではありません。可積分な関数の極大関数が、局所可積分ですらなくなる。

弱 $L^1$ という逃げ場

$Mf$ は $L^1$ に入りませんが、そこまで悪いわけでもありません。行き先が弱 $L^1$ です^[5]。

$$\mu \{x:|f(x)|>t\}\le \frac{C}{t}$$

このような定数 $C$ が $t$ によらずとれる関数の全体を弱 $L^1$ といいます。大きい値をとる集合が、$1/t$ の速さで痩せていく条件。

$L^1$ の関数は必ず弱 $L^1$ に入ります。チェビシェフの不等式がそれを言う。

$$\mu \{x:|f(x)|>t\}\le \frac{1}{t}\Vert f{\Vert }_{L^1}$$

証明は 1 行です。$E_t$ の上で $|f|>t$ なので、$\int |f|\ge {\int }_{E_t}|f|\ge t\mu (E_t)$。

例：逆は成り立たない

$f(x)=\frac{1}{x}$ を $\mathbb{R}\setminus \{0\}$ で考えます。$|f(x)|>t$ となるのは $|x|<\frac{1}{t}$ のときなので、測度はちょうど $\frac{2}{t}$。

$$\mu \{x:|f(x)|>t\}=\frac{2}{t}$$

弱 $L^1$ の条件を満たしています。ところが $1/x$ は可積分でも局所可積分でもない。

弱 $L^1$ は $L^1$ より真に広い空間です。極大関数がちょうどこの隙間に落ちます。

ハーディ・リトルウッドの最大不等式

$f\in L^1({\mathbb{R}}^n)$ に対して、次元だけで決まる定数 $C=3^n$ がとれて、すべての $t>0$ で成り立ちます^[5]。

$$\mu \left(\{x:Mf(x)>t\}\right)\le \frac{C}{t}\Vert f{\Vert }_{L^1}$$

弱 $(1,1)$ 型の評価と呼ばれます。極大関数がどれだけ大きくなっても、大きい値をとる場所の量は $L^1$ ノルムで抑えられる。

$p>1$ なら、もっと強い評価が成り立ちます。$M$ は $L^p$ から $L^p$ への有界作用素になり、次元によらない定数がとれることまで知られています^[2]。

証明

$E_t=\{Mf>t\}$ と置きます。ルベーグ測度の内部正則性から、コンパクト部分集合 $K\subset E_t$ について示せば足ります。

$x\in K$ のそれぞれに、平均が $t$ を超える開球 $B_x$ がとれます。$K$ はコンパクトなので、有限個の $B_1,\dots ,B_N$ で覆えます。

ここで被覆補題を使い、交わらない部分族 $B_1^{\prime },\dots ,B_M^{\prime }$ を選びます。

$$\mu (K)\le 3^n\sum _{j=1}^M|B_j^{\prime }|\le \frac{3^n}{t}\sum _{j=1}^M{\int }_{B_j^{\prime }}|f|dx$$

選んだ球は交わらないので、右端の和は $\Vert f{\Vert }_{L^1}$ で押さえられます。$C=3^n$ で主張が出ました。

被覆補題がしているのは、重なりを数える手間の肩代わりです。重なったまま足すと同じ質量を何度も数えますが、交わらない族に落とせばその心配が消えます。

よくある誤り

参考文献