Lp 空間の双対はなぜ Lq になるのか？共役指数とリースの表現定理

$L^p$ の上の有界線形汎関数を全部集めると、何が出てくるか。答えは $L^q$ です。$q$ は共役指数で、$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ を満たします^[1]。

$$(L^p{)}^{\ast }\cong L^q(1<p<\infty )$$

同型は等長で、対応は積分です。$f\in L^q$ に対して $g\mapsto \int fgd\mu$ という汎関数を当てる。

ヘルダーの不等式が、この写像の有界性と単射性を言います。本題は全射であること。そこでラドン・ニコディムの定理が効きます^[4]。

$L^p$ の外側から中を測る道具が、また $L^p$ 型の空間に戻ってくる。この閉じ方が、$1<p<\infty$ の範囲を特別な場所にしています。

双対空間

バナッハ空間 $X$ の双対空間 $X^{\ast }$ は、有界線形汎関数 $F:X\to \mathbb{R}$ の全体です。ノルムは次で入れます。

$$\Vert F{\Vert }_{X^{\ast }}=\underset{x\ne 0}{\sup }\frac{|F(x)|}{\Vert x{\Vert }_X}$$

線形汎関数については、有界であることと連続であることが同値です。だから双対空間は連続な汎関数の全体だとも言える。

ヘルダーが汎関数を作る

$f\in L^q$ を固定し、$F(g)=\int fgd\mu$ と定めます。ヘルダーの不等式から次が出ます。

$$|F(g)|\le \Vert f{\Vert }_{L^q}\Vert g{\Vert }_{L^p}$$

したがって $F$ は有界で、$\Vert F\Vert \le \Vert f{\Vert }_{L^q}$。ここまでは不等号です。

ノルムはぴったり一致する

等号が立つことは、上限を達成する $g$ を作れば分かります^[4]。

$$g=(\mathrm{sgn}f){\left(\frac{|f|}{\Vert f{\Vert }_{L^q}}\right)}^{q/p}$$

このとき $\Vert g{\Vert }_{L^p}=1$ で、$F(g)=\Vert f{\Vert }_{L^q}$ となります。指数の計算に $q/p=q-1$ を使う。

$p=\infty$ なら $g=\mathrm{sgn}f$ でよく、こちらはもっと簡単。どちらの場合も上限が実際に達成されます。

つまり写像 $f\mapsto F$ は等長です。$L^q$ が $(L^p{)}^{\ast }$ の中へ、ノルムを保ったまま入り込む。

2 つの数値がいつも一致します。上限が達成されているという主張が、そのまま画面に出ている形です。

リースの表現定理

本題は逆向きです。$1<p<\infty$ のとき、$L^p$ 上のどの有界線形汎関数も $L^q$ の関数から来ます^[1]。

写像 $J:L^q\to (L^p{)}^{\ast }$ は全射で、しかも等長。つまり等長同型です。

測度空間に条件は要りません。$\sigma$ 有限でなくても成り立ちます。

証明の骨格

$F$ を $L^p$ 上の有界線形汎関数とし、まず $\mu (X)<\infty$ とします。指示関数は $L^p$ に入るので、次で集合関数を定められる。

$$\nu (A)=F(1_A)$$

交わらない可算合併について、$1_A$ の部分和が $L^p$ で収束します。$F$ が連続なので $\nu$ は可算加法的、つまり符号付き測度です^[4]。

$\mu (A)=0$ なら $1_A$ は $L^p$ の零元なので $\nu (A)=0$。したがって $\nu \ll \mu$ が成り立ちます。

ラドン・ニコディムの定理から密度 $f=\frac{d\nu }{d\mu }$ がとれます。単関数について $F(\phi )=\int f\phi$ が成り立ち、稠密性で $L^p$ 全体へ伸ばせば終わり。

有限測度でない場合は、有限測度の部分に分けて貼り合わせます。ラドン・ニコディムが土台にあることは変わりません。

例：数列空間の双対

${\ell }^p$ は数え上げ測度に対する $L^p$ です。定理をそのまま読むと $({\ell }^p{)}^{\ast }={\ell }^q$ が出ます。

対応は積和です。$a\in {\ell }^q$ に対して $b\mapsto {\sum }_n{a}_n{b}_n$。

数え上げ測度は $\sigma$ 有限なので、$p=1$ の場合も込みで成り立ちます。$({\ell }^1{)}^{\ast }={\ell }^{\infty }$ は使う機会の多い等式。

$c_0$ を加えると景色が広がります。収束して $0$ に行く数列の全体で、その双対が ${\ell }^1$、さらにその双対が ${\ell }^{\infty }$。$c_0$ から出発すると 2 段で ${\ell }^{\infty }$ に着き、そこから先は戻ってきません。

$p=1$ には $\sigma$ 有限性が要る

$(L^1{)}^{\ast }=L^{\infty }$ は、測度空間が $\sigma$ 有限のときに成り立ちます^[3]。証明の中で、有限測度の部分集合をとる操作が要るためです。

外すと壊れます。$X$ を非可算集合とし、可算集合と補可算集合からなる $\sigma$ 加法族を入れ、可算集合の測度を $0$、補可算集合の測度を $\infty$ とします。

可積分な関数は、零集合の外で $0$ になるものだけ。したがって $L^1=\{0\}$ で、双対も $\{0\}$ です。

ところが定数関数は $L^{\infty }$ の零でない元です。$(L^1{)}^{\ast }\ne L^{\infty }$ となりました。

$p=\infty$ では成り立たない

$(L^{\infty }{)}^{\ast }$ は $L^1$ より真に大きくなります^[2]。$L^1$ から $(L^{\infty }{)}^{\ast }$ への等長な埋め込みはありますが、全射になりません。

${\ell }^{\infty }$ で見ると事情がはっきりします。収束する数列に極限を対応させる汎関数を、ハーン・バナッハの定理で ${\ell }^{\infty }$ 全体へ伸ばす。バナッハ極限と呼ばれるものです。

これが $a\in {\ell }^1$ から来るとすると、$n$ 番目だけ $1$ の数列に当てて $a_n=0$ が全ての $n$ で出ます。すると汎関数は零になるはず。

ところが定数列 $(1,1,1,\dots )$ での値は $1$ です。矛盾するので、この汎関数は ${\ell }^1$ から来ません。

反射性

$L^p$ が反射的であることと $1<p<\infty$ であることは同値です^[3]。双対を 2 回とると、もとの空間に戻ります。

$$(L^p{)}^{\ast \ast }\cong (L^q{)}^{\ast }\cong L^p$$

$p=1$ や $p=\infty$ では戻りません。$L^1$ の双対が $L^{\infty }$ でも、$L^{\infty }$ の双対は $L^1$ より大きいから。

$L^1([0,1])$ は、どのバナッハ空間の双対にもなりません^[3]。双対空間は単位球が弱 $\ast$ 位相でコンパクトになるはずで、$L^1$ はその性質を満たさない。

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よくある誤り

参考文献