球を縮めた平均がほとんどの点で関数の値に戻るルベーグの微分定理

局所可積分な関数を、点 $x$ のまわりの球で平均します。半径を $0$ に縮めると、ほとんどすべての点で $f(x)$ そのものに戻ります^[1]。

$$\underset{r\to 0^{+}}{\lim }\frac{1}{|B_r(x)|}{\int }_{B_r(x)}f(y)dy=f(x)$$

微分と積分が逆の操作であることの、測度論での言い方です。1 次元でルベーグが 1904 年に、一般次元では 1910 年に示しました。

連続なら当たり前に見えますが、$f$ には連続性を仮定していません。値をどこでいくら変えても零集合の上なら結論が変わらない、という強さがあります。

絶対値を入れた強い形

実際に示すのは、次のもっと強い主張です^[3]。

$$\underset{r\to 0^{+}}{\lim }\frac{1}{|B_r(x)|}{\int }_{B_r(x)}|f(y)-f(x)|dy=0$$

絶対値を外した形は、この式から三角不等式ですぐ出ます。逆は言えません。打ち消し合いで平均だけが揃う場合があるためです。

証明の対象になるのは次の量。これが概収束の意味で $0$ になることを示します。

$$f^{\ast }(x)=\underset{r\to 0^{+}}{\mathrm{limsup}}\frac{1}{|B_r(x)|}{\int }_{B_r(x)}|f(y)-f(x)|dy$$

差がどこまで小さくなるかを見ると、主張の中身がそのまま目に入ります。ギザギザが残っていても、縮めれば追いつく。

連続関数なら易しい

$g$ が連続でコンパクト台を持つとします。$\epsilon >0$ に対して $\delta >0$ をとり、$|x-y|<\delta$ なら $|g(x)-g(y)|<\epsilon$ となるようにします。

$r<\delta$ の球では被積分関数がすべて $\epsilon$ 未満なので、平均も $\epsilon$ を超えません。よって $g^{\ast }=0$ が各点で成り立ちます。

一様連続性だけで済んでしまう。難しさは、連続でない関数へこの結論を運ぶところにあります。

差をとると $f^{\ast }$ は変わらない

三角不等式と $\mathrm{limsup}$ の劣加法性から、次が出ます。

$$(f+g{)}^{\ast }\le f^{\ast }+g^{\ast }$$

$g$ を連続関数とすると $g^{\ast }=0$ なので、$(f-g{)}^{\ast }\le f^{\ast }$ と $f^{\ast }\le (f-g{)}^{\ast }$ が両方成り立ちます。つまり $(f-g{)}^{\ast }=f^{\ast }$。

連続関数を引いても $f^{\ast }$ が動かない。この不変性が、近似で議論を運ぶための足場になります。

極大関数で $f^{\ast }$ を押さえる

$f^{\ast }$ の定義で $\mathrm{limsup}$ を $\sup$ に緩め、三角不等式で分けます。

$$f^{\ast }(x)\le Mf(x)+|f(x)|$$

したがって $\{f^{\ast }>t\}$ は $\{Mf>t/2\}$ と $\{|f|>t/2\}$ の合併に含まれます。前者はハーディ・リトルウッドの不等式、後者はチェビシェフの不等式で押さえられる。

極大関数が微分の議論に効くのは、まさにこの一手のためです^[5]。上限をとって大きくしておいてから、その大きい量のほうを評価する。遠回りに見えて、平均の細かい揺れを追わずに済みます。

$$\mu \left(\{f^{\ast }>t\}\right)\le \frac{C}{t}\Vert f{\Vert }_{L^1},C=2(3^n+1)$$

弱 $(1,1)$ 型の評価が $f^{\ast }$ にも立ちました^[4]。極大関数を経由したことで、定数が次元だけで決まる形に落ちています。

証明を閉じる

$C_c({\mathbb{R}}^n)$ は $L^1$ で稠密なので、任意の $\epsilon >0$ に対し $\Vert f-g{\Vert }_{L^1}<\epsilon$ となる連続関数 $g$ がとれます。

前の 2 節を合わせると、次の評価が出ます。

$$\mu \left(\{f^{\ast }>t\}\right)=\mu \left(\{(f-g{)}^{\ast }>t\}\right)\le \frac{C}{t}\Vert f-g{\Vert }_{L^1}<\frac{C\epsilon }{t}$$

$\epsilon$ は任意なので左辺は $0$ です。$\{f^{\ast }>0\}$ は $\{f^{\ast }>1/k\}$ の可算合併なので、これも測度 $0$。

局所可積分な場合は $f{1}_{B_k(0)}$ に当てて合併をとれば済みます。零集合の可算合併はやはり零集合だから。

ルベーグ点

定数 $c$ が存在して次を満たすとき、$x$ は $f$ のルベーグ点であるといいます^[3]。

$$\underset{r\to 0^{+}}{\lim }\frac{1}{|B_r(x)|}{\int }_{B_r(x)}|f(y)-c|dy=0$$

そのような $c$ は一つしかありません。しかも値は $f$ の概収束の意味での同値類だけで決まります。

定理は「ほとんどすべての点がルベーグ点である」と言い直せます。ルベーグ点の上で $f(x)=c$ と定めれば、同値類の代表を各点で選び直せる。

例：階段関数のルベーグ点

$f(x)=1$（$x\ge 0$）、$f(x)=0$（$x<0$）とします。$0$ 以外の点は、その近くで $f$ が定数なのでルベーグ点です。

原点はどうか。$c$ を何に選んでも、次の極限は $0$ になりません。

$$\underset{r\to 0^{+}}{\lim }\frac{1}{2r}{\int }_{-r}^r|f(y)-c|dy=\frac{|c|+|1-c|}{2}$$

右辺は $0\le c\le 1$ で最小値 $\frac{1}{2}$ をとります。原点はルベーグ点ではありません。

極限が存在してもルベーグ点とは限らない

同じ階段関数で、絶対値を外した平均を見ます。

$$\frac{1}{2r}{\int }_{-r}^{r}f(y)dy=\frac{1}{2}$$

半径によらず $\frac{1}{2}$ なので、極限は存在します。それでも原点はルベーグ点でない。

平均が収束することと、ばらつきが消えることは別。強い形をわざわざ示す理由がここにあります^[4]。

ルベーグの密度定理

$f$ を可測集合 $A$ の指示関数にすると、定理は集合の話に変わります^[2]。

$$\underset{r\to 0^{+}}{\lim }\frac{\mu (A\cap B_r(x))}{\mu (B_r(x))}=1_A(x)$$

$A$ のほとんどすべての点で密度が $1$、補集合のほとんどすべての点で密度が $0$ になります。中間の値をとる点は零集合しかない。

境界は測度の目から見れば消えている、という主張です。図形の縁が全体の量に効かない理由もここにあります。

角では $\frac{1}{4}$、辺では $\frac{1}{2}$ になります。それでも境界の点をすべて集めた集合は、面積 $0$ にとどまる。

密度定理は、可測集合がどれも「ほとんど区間の合併のように見える」ことを言っています。細かく散らばった集合でも、ほとんどの点では自分の内側にいる。

ヴィタリ集合のような病的な集合が可測でないのは、この性質と折り合わないためだと読むこともできます。密度が定まらない点が多すぎる、という言い方。

縮め方に条件が要る

球を使う代わりに、$x$ を含む集合を縮めていく形にも一般化できます。ただし縦横比を抑える条件が付きます^[1]。

長方形をどんどん細長くしながら面積を $0$ に縮めると、平均が値に戻りません。連続関数であってもそうなります。

立方体や、縦横比に上限のある長方形なら成り立ちます。有界離心率と呼ばれる条件です。

「小さくなる」だけでは足りず、「どの向きにも縮む」ことが要る。極大関数の定義で細長い長方形を除いたのと同じ理由です。

1 次元での顔

$f\in L_{\mathrm{loc}}^1(\mathbb{R})$ の不定積分を $F(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$ と置きます。

定理から、ほとんどすべての $x$ で $F^{\prime }(x)=f(x)$ が成り立ちます。リーマン積分では $f$ の連続点でしか言えなかったところ。

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よくある誤り

参考文献