グラフをたどった上下の総距離 - 有界変動関数とジョルダンの分解

関数のグラフを左から右へたどるとき、上下に動いた距離の合計を測ります。これが有限にとどまる関数を有界変動といいます^[1]。

$$V_a^b(f)=\underset{P}{\sup }\sum _i|f(x_i)-f(x_{i-1})|$$

上限は $[a,b]$ の分割 $P$ 全部にわたってとります。分割を細かくすると和は減らないので、上限は単調な増え方の行き先。

カミーユ・ジョルダンが 1881 年に、フーリエ級数の収束条件を広げるために導入しました^[3]。単調でない関数を、単調な 2 つの差として扱う道が開けます。

分割を細かくすると和は増える

分割に点を 1 つ足すと、三角不等式から和は減りません。

$$|f(c)-f(a)|+|f(b)-f(c)|\ge |f(b)-f(a)|$$

細分するほど和が上がっていくので、上限は「細かくしきったときの値」にあたります。有界変動とは、その行き先が無限大にならないこと。

数値が単調に上がって、ある値の手前で落ち着きます。落ち着く先が全変動。

例：単調関数はいつでも有界変動

$f$ が $[a,b]$ で単調増加なら、どの分割でも差の絶対値は $f(x_i)-f(x_{i-1})$ そのものです。和は望遠鏡のように潰れます。

$$\sum _i(f(x_i)-f(x_{i-1}))=f(b)-f(a)$$

分割によらず同じ値なので、$V_a^b(f)=f(b)-f(a)$。単調な関数は、有界変動のいちばん素朴な例になります。

例：リプシッツ関数

$|f(x)-f(y)|\le L|x-y|$ を満たすなら、和は区間の長さで押さえられます。

$$\sum _i|f(x_i)-f(x_{i-1})|\le L\sum _i(x_i-x_{i-1})=L(b-a)$$

上限も $L(b-a)$ 以下です。導関数が有界な $C^1$ 関数はここに入ります。

全変動関数を作る

右端を動かして $V(x)=V_a^x(f)$ と定めます。区間を継ぎ足せば変動も足されるので、$V$ は単調増加。

$$V_a^c(f)=V_a^b(f)+V_b^c(f)$$

さらに $V-f$ も単調増加です。$x<y$ のとき $V(y)-V(x)=V_x^y(f)\ge |f(y)-f(x)|\ge f(y)-f(x)$ が成り立つため。

ジョルダンの分解定理

前の節の 2 つを組み合わせると、分解が書けます^[1]。

$$f=\frac{V+f}{2}-\frac{V-f}{2}$$

$V+f$ も $V-f$ も単調増加なので、右辺は増加関数の差です。逆に増加関数の差はいつでも有界変動になる。

つまり有界変動であることと、2 つの単調増加関数の差に書けることは同値です。符号付き測度をジョルダン分解したのと、まったく同じ形をしています。

不連続点は可算個しかない

単調関数の不連続点は跳びだけで、しかも可算個です。跳びの高さの総和が有限だから、大きい跳びは有限個しかありません。

有界変動は単調関数の差なので、この性質を引き継ぎます^[1]。振動して収束しないような不連続は起こりえない。

跳びの高さを全部足すと、全変動を超えません。跳びが可算個という結論は、そこから出ます。

ほとんどいたるところ微分可能

ルベーグの定理により、単調関数はほとんどいたるところ微分可能です。有界変動もその差なので、同じ結論を引き継ぎます^[2]。

微分可能な点の集合の外は零集合。ただし導関数を積分しても、もとの関数に戻るとはかぎりません。

例：$x\sin (1/x)$ は有界変動でない

$[0,1]$ で $f(x)=x\sin \frac{1}{x}$、$f(0)=0$ と定めます。連続ですが、原点の近くで振動が減りません。

$x_n=\frac{2}{(2n+1)\pi }$ を分割点にとると、$|f(x_n)|=x_n$ で符号が交互に変わります。差の和は次のように下から押さえられる。

$$\sum _n|f(x_n)-f(x_{n+1})|\ge \sum _n\frac{2}{(2n+1)\pi }$$

右辺は調和級数と同じ速さで発散します。振幅の減り方が $1/n$ では追いつきません^[2]。

$x^2\sin \frac{1}{x}$ なら導関数が有界になるので、有界変動です。振幅を 1 段強く減らせば救われる。

例：微分可能でも有界変動とはかぎらない

$[-1,1]$ で $f(x)=x^2{\cos }^2\frac{\pi }{x^2}$、$f(0)=0$ とします。$|f(x)|\le x^2$ から原点でも微分可能です^[3]。

$x=\frac{1}{\sqrt{n}}$ では ${\cos }^2(\pi n)=1$ なので $f=\frac{1}{n}$、その隣の零点では $f=0$。上下の往復が $\frac{1}{n}$ ずつ積み上がります。

$$V_{-1}^1(f)\ge 2\sum _n\frac{1}{n}=\infty$$

各点で微分できても、動いた距離は無限になりうる。微分可能性と有界変動は、どちらも相手を含みません。

例：カントール関数は有界変動

カントール関数 $F$ は単調増加なので、$V_0^1(F)=F(1)-F(0)=1$ です^[4]。有界変動の条件はあっさり満たします。

それでも $F^{\prime }=0$ が概収束の意味で成り立ち、導関数の積分は $0$。有界変動であることは、微積分学の基本定理を保証しません。

有界変動より強い条件が要る、という事実がここで見えます。

演算で閉じる

有界変動な関数の和、差、積はまた有界変動です^[3]。分母が $0$ から離れていれば商も入ります。

全変動には劣加法性が成り立ちます。

$$V_a^b(f+g)\le V_a^b(f)+V_a^b(g)$$

$\Vert f{\Vert }_{BV}=\Vert f{\Vert }_{L^1}+V(f)$ をノルムにすると、$BV$ はバナッハ空間になります^[1]。可分ではありません。

ルベーグ・スティルチェス測度との対応

右連続な有界変動関数 $F$ から、区間の測度を $\nu ((a,b])=F(b)-F(a)$ で定めると符号付き測度が作れます。

逆に有限符号付き測度から $F(x)=\nu ((-\infty ,x])$ と置けば、右連続な有界変動関数が得られる。両者は 1 対 1 に対応します^[1]。

しかも $F$ の全変動と、符号付き測度 $\nu$ の全変動 $\Vert \nu \Vert$ が一致します。名前が同じなのは偶然ではありません。

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よくある誤り

参考文献