座標を替えたぶんだけ体積が伸び縮みするのを測るヤコビアン

座標をとり替えると、体積の測り方も変わります。変わり方を 1 つの数で表したものがヤコビアンです^[2]。

$${\int }_{\Phi (U)}f(y)dy={\int }_{U}f(\Phi (x))|\det D\Phi (x)|dx$$

$D\Phi$ はヤコビ行列で、$|\det D\Phi |$ が各点での体積の伸び率を表します。絶対値を付けるところが要。

出発点は線形写像の場合です。そこで $|\det |$ が出る理由が分かれば、あとは局所的に線形で近似するだけになります。

線形写像は測度を $|\det T|$ 倍にする

$T:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^n$ を線形写像とすると、任意の可測集合について次が成り立ちます。

$$m(T(A))=|\det T|\cdot m(A)$$

$T$ が可逆でなければ $\det T=0$ で、像は次元の低い部分空間に落ちます。測度 $0$ になるので両辺が合う。

可逆な場合は、$T$ を基本変形の積に分解して確かめます。拡大は 1 方向だけ倍にし、せん断は面積を変えず、置換は符号だけを変える。

どれも $|\det |$ の値と一致します。絶対値が要るのは、向きの反転を測度が区別しないためです。

行列式が負に落ちる瞬間があります。それでも面積は正のまま。測度は向きを区別しないので、絶対値が要ります。

一般の変数変換公式

$U$、$V$ を ${\mathbb{R}}^n$ の開集合、$\Phi :U\to V$ を $C^1$ 級の微分同相写像とします。このとき非負可測関数 $f$ について次が成り立ちます^[3]。

$${\int }_{V}fdm={\int }_U(f\circ \Phi )|\det D\Phi |dm$$

可積分な $f$ についても同じ形。$1$ 次元では置換積分そのものになりますが、絶対値が付く点だけが違います。

$1$ 次元の置換積分では、積分区間の向きが符号を吸収していました。多次元では区間の向きという概念がないので、絶対値が表に出ます。

仮定はどこまで緩められるか

微分同相という仮定は強すぎます。実際には次のところまで緩められます^[1]。

極座標変換が原点と半直線で単射でなくなるのに使えるのは、その部分が零集合だからです。

零集合を除いてよい、という但し書きは測度論だから書けるもの。リーマン積分の枠では、こう簡単には済みません。

証明の骨格

線形の場合を認めたうえで、局所化して積を作ります。

各段で使うのは、$C^1$ 級だから近似が一様に効くという事実だけです。オイラーが 1769 年に使い始め、厳密な証明が固まるまで 100 年以上かかりました^[1]。

例：極座標

$\Phi (r,\theta )=(r\cos \theta ,r\sin \theta )$ のヤコビ行列を書きます。

$$D\Phi =\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -r\sin \theta \\ \sin \theta & r\cos \theta \end{array}\right)$$

行列式は $r{\cos }^2\theta +r{\sin }^2\theta =r$ です。面積要素が $rdrd\theta$ になる理由がここにあります。

原点では $r=0$ でヤコビアンが消えますが、1 点なので零集合。$\theta$ の端でも単射性が破れますが、こちらも零集合です。

例：ガウス積分

この計算で、変数変換がいちばん鮮やかに効きます。2 次元の積分を極座標に直す。

$${\iint }_{{\mathbb{R}}^2}{e}^{-(x^2+y^2)}dxdy={\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{\infty }{e}^{-r^2}rdrd\theta =\pi$$

ヤコビアンから出た $r$ が、$e^{-r^2}$ の原始関数を作ってくれます。これがなければ手が出ません。

一方でこの積分は $x$ と $y$ に分離するので、${\left(\int e^{-x^2}dx\right)}^2$ に等しい。両辺を比べて次を得ます。

$${\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-x^2}dx=\sqrt{\pi }$$

$1$ 変数では初等的に解けない積分が、$2$ 変数にして座標を替えると解ける。ヤコビアンが $1$ 次元では作れない因子を用意しています^[3]。

例：楕円を円に直す

$\Phi (u,v)=(au,bv)$ は線形なのでヤコビアンは定数 $ab$ です。単位円板が楕円に写ります。

$$m\left(\left\{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\le 1\right\}\right)=ab\cdot \pi$$

楕円の面積の公式が、線形変換の場合だけで出ました。積分を計算する必要がありません。

単射でない場合

$\Phi$ が単射でないと、像を何度も数えることになります。重複度を掛けた形に直せば等式が保てます。

$${\int }_{U}f(\Phi (x))|\det D\Phi (x)|dx={\int }_{{\mathbb{R}}^n}f(y)\#{\Phi }^{-1}(y)dy$$

$\#{\Phi }^{-1}(y)$ は原像の個数です。面積公式と呼ばれる形で、幾何学的測度論の出発点になります。

$\Phi (x)=x^2$ を $\mathbb{R}$ で考えると、正の $y$ の原像は 2 個。この 2 が右辺に現れます。

リプシッツ写像まで緩められる

$C^1$ 級を外して、リプシッツ写像でも成り立ちます^[1]。ラーデマッハーの定理から、リプシッツ写像はほとんどいたるところ微分可能だからです。

微分できない点は零集合なので、ヤコビアンが定義できない場所は積分に効きません。仮定を緩めても結論が保たれる、測度論らしい流れ。

この形が、${\mathbb{R}}^n$ の中の曲面上の積分を定義するときの土台になります。

測度の押し出しとして読む

変数変換の公式は、押し出し測度の言葉でも書けます。${\Phi }_{\ast }m$ を $m$ の押し出しとすると、密度がヤコビアンの逆数になる。

$$\frac{d({\Phi }_{\ast }m)}{dm}=\frac{1}{|\det D\Phi |\circ {\Phi }^{-1}}$$

ラドン・ニコディム微分として読み直した形です。座標変換とは、測度を別の測度へ移す操作にほかなりません。

よくある誤り

参考文献