ミンコフスキーの限界より下を調べる〜類数を最後まで求める

$K=\mathbb{Q}(\sqrt{-6})$ の類数を求めてください。

$-6\equiv 2(\mathrm{mod}4)$ なので ${\mathcal{O}}_K=\mathbb{Z}[\sqrt{-6}]$、$d_K=-24$ です^[3]。虚二次体の限界は $\frac{2}{\pi }\sqrt{|d_K|}$ なので $\frac{2}{\pi }\sqrt{24}\approx 3.119$^[1]。

どの類もこの値以下のノルムを持つイデアルで代表されるので、ノルム $3$ 以下の素イデアルだけを調べれば足ります^[2]。$2$ と $3$ はどちらも $24$ を割るので分岐し、$(2)={\mathfrak{p}}_2^2$、$(3)={\mathfrak{p}}_3^2$ となります。ここで ${\mathfrak{p}}_2=(2,\sqrt{-6})$、${\mathfrak{p}}_3=(3,\sqrt{-6})$。

単項かどうかを見ます。${\mathfrak{p}}_2$ が単項なら $a^2+6b^2=2$ を満たす整数が要りますが、$b=0$ で $a^2=2$、$|b|\ge 1$ で左辺が $6$ 以上。解はありません。${\mathfrak{p}}_3$ も $a^2+6b^2=3$ が解けないので単項でない。

関係式を拾います。$N(\sqrt{-6})=6=2\cdot 3$ なので $(\sqrt{-6})={\mathfrak{p}}_2{\mathfrak{p}}_3$ で、$[{\mathfrak{p}}_2][{\mathfrak{p}}_3]=1$。

${\mathfrak{p}}_2^2=(2)$ から $[{\mathfrak{p}}_2{]}^2=1$ なので、$[{\mathfrak{p}}_3]=[{\mathfrak{p}}_2{]}^{-1}=[{\mathfrak{p}}_2]$ です。類群は $[{\mathfrak{p}}_2]$ が生成する位数 $2$ の巡回群、$h_K=2$。

$\mathbb{Q}(\sqrt{-23})$ で位数 3 を出す

$d_K=-23$、限界は $\frac{2}{\pi }\sqrt{23}\approx 3.053$ です。ノルム $3$ 以下を調べます。

$-23\equiv 1(\mathrm{mod}8)$ なので $2$ は完全分解し、$-23\equiv 1(\mathrm{mod}3)$ で $1$ が平方剰余なので $3$ も完全分解します。$(2)={\mathfrak{p}}_2{\bar{\mathfrak{p}}}_2$、$(3)={\mathfrak{p}}_3{\bar{\mathfrak{p}}}_3$。

整数環は $\mathbb{Z}\left[\frac{1+\sqrt{-23}}{2}\right]$ なので、ノルムは $N\left(\frac{a+b\sqrt{-23}}{2}\right)=\frac{a^2+23b^2}{4}$ です。$a$ と $b$ の偶奇はそろえます。

${\mathfrak{p}}_2$ が単項なら $a^2+23b^2=8$。$b=0$ で $a^2=8$、$|b|\ge 1$ で $23$ 以上。解なしで単項ではありません。${\mathfrak{p}}_3$ も $a^2+23b^2=12$ が解けないので同じ。

ここで手を止めず、${\mathfrak{p}}_2$ のべきを追います。

${\mathfrak{p}}_2^2$ はノルム $4$ です。$a^2+23b^2=16$ の解は $a=\pm 4$、$b=0$ で、対応する元は $2$。ところが $(2)={\mathfrak{p}}_2{\bar{\mathfrak{p}}}_2$ であって ${\mathfrak{p}}_2^2$ ではないので、${\mathfrak{p}}_2^2$ は単項ではありません。

${\mathfrak{p}}_2^3$ はノルム $8$。$a^2+23b^2=32$ に $a=3$、$b=1$ という解があり、$\alpha =\frac{3+\sqrt{-23}}{2}$ のノルムが $8$ です。

$\alpha$ が $2$ で割れるかを確かめます。$\frac{\alpha }{2}=\frac{3+\sqrt{-23}}{4}$ はトレースが $\frac{3}{2}$ で整数にならないので、割れません。だから $(\alpha )$ は片方の素イデアルだけの $3$ 乗、つまり ${\mathfrak{p}}_2^3$ です。

$[{\mathfrak{p}}_2]$ の位数は $3$ に決まりました。${\mathfrak{p}}_3$ も同じ類群に入ります。$\omega =\frac{1+\sqrt{-23}}{2}$ のノルムは $\frac{1+23}{4}=6$ なので $(\omega )={\mathfrak{p}}_2{\mathfrak{p}}_3$、つまり $[{\mathfrak{p}}_3]=[{\mathfrak{p}}_2{]}^{-1}$。

類群は位数 $3$ の巡回群で $h_K=3$ です。

$\mathbb{Q}(\sqrt{-21})$ では巡回群にならない

$-21\equiv 3(\mathrm{mod}4)$ なので ${\mathcal{O}}_K=\mathbb{Z}[\sqrt{-21}]$、$d_K=-84$。限界は $\frac{2}{\pi }\sqrt{84}\approx 5.835$ です。

ノルム $5$ 以下の素イデアルを並べます。$2$ と $3$ は $84$ を割るので分岐し、$5$ は $-21\equiv 4(\mathrm{mod}5)$ が平方剰余なので完全分解します。

$a^2+21b^2$ は $2$ にも $3$ にも $5$ にもなりません。$b=0$ なら平方数、$|b|\ge 1$ なら $21$ 以上だからです。$3$ つとも単項ではない。

関係式を探します。$N(3+\sqrt{-21})=9+21=30=2\cdot 3\cdot 5$ なので、$(3+\sqrt{-21})={\mathfrak{p}}_2{\mathfrak{p}}_3{\mathfrak{p}}_5$ です。よって $[{\mathfrak{p}}_5]=[{\mathfrak{p}}_2][{\mathfrak{p}}_3]$。

$[{\mathfrak{p}}_2]$ と $[{\mathfrak{p}}_3]$ はどちらも位数 $2$。積が単位元になるかを見ます。$[{\mathfrak{p}}_2][{\mathfrak{p}}_3]=1$ なら ${\mathfrak{p}}_2{\mathfrak{p}}_3$ が単項で、ノルム $6$ の元が要ります。$a^2+21b^2=6$ に解はないので、単位元ではありません。

したがって類群は位数 $2$ の元 $2$ つで生成され、$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ になります。$h_K=4$ で、巡回群ではない。

実二次体では単数が邪魔になる

$K=\mathbb{Q}(\sqrt{10})$ の類数を求めてください。$10\equiv 2(\mathrm{mod}4)$ なので ${\mathcal{O}}_K=\mathbb{Z}[\sqrt{10}]$、$d_K=40$。

実二次体の限界は $\frac{1}{2}\sqrt{|d_K|}$ なので $\frac{\sqrt{40}}{2}\approx 3.162$^[1]。ノルム $3$ 以下を調べます。

$2$ は $40$ を割るので分岐し、$(2)={\mathfrak{p}}_2^2$、${\mathfrak{p}}_2=(2,\sqrt{10})$。$3$ は $10\equiv 1(\mathrm{mod}3)$ が平方剰余なので完全分解します。

単項性の判定でひと工夫が要ります。$a^2-10b^2=\pm 2$ は左辺が負にもなるので、大きさで絞れません。

そこで $5$ を法として見ます。$a^2\equiv \pm 2(\mathrm{mod}5)$ が要りますが、$5$ を法とする平方数は $0,1,4$ の $3$ つ。$2$ も $3$ も入らないので解なしです。${\mathfrak{p}}_2$ は単項ではありません。

${\mathfrak{p}}_3$ も同じで、$a^2-10b^2=\pm 3$ は $5$ を法として $3$ か $2$ を要求するので解けません。

関係式は $N(2+\sqrt{10})=4-10=-6=-2\cdot 3$ から拾えます。$(2+\sqrt{10})={\mathfrak{p}}_2{\mathfrak{p}}_3$ なので $[{\mathfrak{p}}_3]=[{\mathfrak{p}}_2{]}^{-1}=[{\mathfrak{p}}_2]$。

類群は $[{\mathfrak{p}}_2]$ が生成する位数 $2$ の群で、$h_K=2$ です。

限界が 2 を切れば即決

限界が $2$ より小さいと、調べるべき素イデアルが $1$ つもありません。その場で類数 $1$ が確定します^[1]。

虚二次体では $\frac{2}{\pi }\sqrt{|d_K|}<2$ すなわち $|d_K|<{\pi }^2\approx 9.87$、実二次体では $|d_K|<16$ が条件です^[1]。

この $8$ つはどれも類数 $1$ です^[1]。ほかにも類数 $1$ の体はありますが、限界が $2$ 以上になるので個別の議論が要ります^[1]。

限界を出す、その下の素イデアルを並べる、単項性を判定する、関係式を拾う。$4$ 手のうち最後だけが探し物で、そこはノルムが限界より少し大きい元を試すと見つかります。

参考