連分数の周期を数えると基本単数が出る、ペル方程式との対応

$Z [7]$ の基本単数を求めてください。

総当たりでも出ます。 $a^{2} - 7 b^{2} = \pm 1$ に $b = 1, 2, 3$ を順に入れると、 $b = 3$ で $a^{2} = 64$ 、つまり $a = 8$ が見つかる。 $ε = 8 + 37$ です。

$b$ が小さいうちに当たったので楽でした。 $d$ が変わると $b$ が $10$ 桁まで伸びることもあります。順に試す代わりに、 $d$ の連分数を回します。

$7$ の連分数を作る

整数部分を抜き出しては逆数をとる、をくり返します。

$7 = 2.6458 \dots$ なので整数部分は $2$ 。残り $0.6458$ の逆数は $\frac{1}{7 - 2} = \frac{7 + 2}{3} = 1.5486$ で、整数部分は $1$ 。

同じ操作を続けると $1.8229$ 、 $1.2153$ 、 $4.6458$ と並び、整数部分は $1$ 、 $1$ 、 $4$ 。ここで $4 = 2 a_{0}$ になり、以降は同じ並びがくり返されます。

$7 = [2; \overline{1, 1, 1, 4}]$

$2$ 次の無理数の連分数は必ず途中から周期的になります。オイラーとラグランジュの定理です^[3]。

収束分数を並べて値を見る

途中で打ち切った分数を収束分数と呼びます。 $p_{n} = a_{n} p_{n - 1} + p_{n - 2}$ 、 $q_{n} = a_{n} q_{n - 1} + q_{n - 2}$ で順に作れます。

$\frac{p}{q}$	$p^{2} - 7 q^{2}$	判定
$\frac{2}{1}$	$- 3$	まだ
$\frac{3}{1}$	$+ 2$	まだ
$\frac{5}{2}$	$- 3$	まだ
$\frac{8}{3}$	$+ 1$	当たり
$\frac{37}{14}$	$- 3$	$2$ 周目
$\frac{45}{17}$	$+ 2$	$2$ 周目

$\frac{8}{3}$ で $+ 1$ が出ました。周期の $1$ 手前がちょうどこの位置です。答えは $ε = 8 + 37$ で、ノルムは $+ 1$ 。

$x^{2} - 7 y^{2} = - 1$ には解がありません。表の値に $- 1$ が一度も現れないのがその印です。

周期の長さでノルムが決まる

$d$ の連分数の周期が奇数なら $x^{2} - d y^{2} = - 1$ が解け、偶数なら解けません。

$d$	$d$ の周期	基本単数のノルム
$2$	$1$ （奇）	$- 1$
$3$	$2$ （偶）	$+ 1$
$7$	$4$ （偶）	$+ 1$
$10$	$1$ （奇）	$- 1$
$13$	$5$ （奇）	$- 1$
$61$	$11$ （奇）	$- 1$

$2 = [1; \overline{2}]$ は周期 $1$ 。最初の収束分数 $\frac{1}{1}$ で $1 - 2 = - 1$ となり、 $ε = 1 + 2$ です。

$10 = [3; \overline{6}]$ も周期 $1$ で、 $\frac{3}{1}$ から $9 - 10 = - 1$ 。 $ε = 3 + 10$ になります。

$3 = [1; \overline{1, 2}]$ は周期 $2$ 。収束分数は $\frac{1}{1}$ で $- 2$ 、 $\frac{2}{1}$ で $+ 1$ 。 $ε = 2 + 3$ でノルムは $+ 1$ です。

$d \equiv 1 (mod 4)$ では手順が変わる

$d = 13$ で基本単数を求めてください。

$13 \equiv 1 (mod 4)$ なので整数環は $Z [\frac{1 + 13}{2}]$ 。分母 $2$ が許されるぶん、単数の候補が増えます。

解くべき式は $x^{2} - 13 y^{2} = \pm 4$ で、 $x$ と $y$ の偶奇をそろえます。 $y = 1$ とすると $x^{2} = 13 \pm 4$ 、つまり $17$ か $9$ 。 $x = 3$ が当たりです。

$ε = \frac{3 + 13}{2}$ で、ノルムは $\frac{9 - 13}{4} = - 1$ 。値は約 $3.303$ です。

$13$ の連分数から入ると別のものが出ます。収束分数を進めると $\frac{18}{5}$ で $324 - 325 = - 1$ となり、 $18 + 513 \approx 36.03$ 。これは $ε^{3}$ です^[2]。

$d$ の連分数が拾うのは分母 $2$ を許さない範囲の単数だけです。

$d \equiv 1 (mod 4)$ では真の基本単数の $1$ 乗か $3$ 乗が出る。 $\pm 4$ を直接解くほうが速い。

$d = 5$ でも同じことが起きます。 $5 = [2; \overline{4}]$ の最初の収束分数 $\frac{2}{1}$ から $4 - 5 = - 1$ 、つまり $2 + 5$ 。ところが $x^{2} - 5 y^{2} = - 4$ には $x = y = 1$ という解があり、 $ε = \frac{1 + 5}{2}$ です。 $2 + 5 = ε^{3}$ になります。

べきを並べると解が全部出る

基本単数が決まれば、あとはべきを並べるだけです。ノルムが $+ 1$ のべきがペル方程式 $x^{2} - d y^{2} = 1$ の解になります。

$ε = 8 + 37$ を $2$ 乗すると $64 + 487 + 63 = 127 + 487$ 。実際 $12 7^{2} - 7 \cdot 4 8^{2} = 16129 - 16128 = 1$ です。

$3$ 乗は $2024 + 7657$ で、 $202 4^{2} - 7 \cdot 76 5^{2} = 4096576 - 4096575 = 1$ 。ペル方程式の解が無限に並びます^[1]。

$d = 61$ で何が起きるか

$d = 61$ の基本単数を求めてください。

$61 \equiv 1 (mod 4)$ なので $x^{2} - 61 y^{2} = \pm 4$ を解きます。 $y$ を $1$ から順に上げると、 $y = 5$ で $61 \cdot 25 - 4 = 1521 = 3 9^{2}$ が当たる。

$ε = \frac{39 + 5 61}{2}$ で、ノルムは $\frac{1521 - 1525}{4} = - 1$ 。値は約 $39.03$ です。

ここまでは軽い計算です。ところがノルムが $- 1$ なので、 $x^{2} - 61 y^{2} = 1$ を解くには $2$ 乗が要ります。その最小解は $x = 1766319049$ 、 $y = 226153980$ 。

$d$ が $61$ という小さい数なのに、解が $10$ 桁になる。 $\pm 4$ で止めておけば $y = 5$ で済んだところが、 $\pm 1$ にこだわると $y$ が $9$ 桁まで伸びます。

$d = 60$ は平方因子つき	$60 = 215$ なので $d = 15$ に直す
$d = 62$	$ε = 63 + 862$ 、ノルム $+ 1$
$d = 61$	$ε = \frac{39 + 5 61}{2}$ 、ノルム $- 1$
$d = 63$ は平方因子つき	$63 = 37$ なので $d = 7$ に直す

隣り合う $d$ でも基本単数の大きさに規則がありません^[2]。 $62$ では $2$ 桁で収まり、 $61$ ではペル方程式の解が $10$ 桁になります。

$x^{2} - 7 y^{2} = - 1$ に整数解はありますか。

ある。 $y$ を大きくすれば見つかる
ない。 $7$ の連分数の周期が偶数だから
ない。 $7$ が素数だから

__RESULT__

$7 = [2; \overline{1, 1, 1, 4}]$ で周期は $4$ 、偶数です。周期が偶数のときは基本単数のノルムが $+ 1$ になり、すべての単数のノルムが $+ 1$ 。 $x^{2} - 7 y^{2} = - 1$ は解けません。周期が奇数の $2$ 、 $10$ 、 $13$ 、 $61$ では解けます。

連分数を回す、収束分数の値を見る、 $4$ で割った余りで $\pm 1$ か $\pm 4$ を選ぶ。この $3$ 点さえ守れば、基本単数は手で出せます。

参考

Pell equation - Encyclopedia of Mathematics

Keith Conrad, *Dirichlet's unit theorem*, University of Connecticut

Continued fraction - Encyclopedia of Mathematics

$\sqrt{7} = [2; \overline{1,1,1,4}]$ の収束分数で $p^2 - 7q^2$ を並べると $-3, +2, -3, +1$ とくり返し、$\frac{8}{3}$ で当たって $\varepsilon = 8 + 3\sqrt{7}$。周期が偶数なので $x^2 - 7y^2 = -1$ は解けません。$d \equiv 1 \pmod 4$ では話が変わり、$d = 13$ は $x^2 - 13y^2 = \pm 4$ から $\frac{3+\sqrt{13}}{2}$、$\sqrt{13}$ の連分数が出す $18 + 5\sqrt{13}$ はその 3 乗です。$d = 61$ で $\varepsilon$ は 2 桁なのに、$x^2 - 61y^2 = 1$ の最小解が 10 桁になる話まで。解答は各問のすぐ後に置いています。