行列を書けばノルムもトレースも機械的に出る（3 次体まで手で計算する）

$\alpha =3+2\sqrt{-6}$ のノルム、トレース、最小多項式を求めてください。

$\alpha$ を掛ける写像を行列にします。基底は $\{1,\sqrt{-6}\}$。

$\alpha \cdot 1=3+2\sqrt{-6}$ なので $1$ 列目は $(3,2)$。$\alpha \cdot \sqrt{-6}=3\sqrt{-6}+2\cdot (-6)=-12+3\sqrt{-6}$ なので $2$ 列目は $(-12,3)$。

$$[{\mu }_{\alpha }]=\left(\begin{array}{cc}3& -12\\ 2& 3\end{array}\right)$$

対角の和が $6$、行列式が $9+24=33$。トレースが $6$、ノルムが $33$ です^[1]。

最小多項式は特性多項式から読めます。$X^2-\mathrm{Tr}(\alpha )X+N(\alpha )=X^2-6X+33$。$\alpha \notin \mathbb{Q}$ なので、これがそのまま最小多項式です^[1]。

検算します。共役 $\bar{\alpha }=3-2\sqrt{-6}$ との和が $6$、積が $9-4\cdot (-6)=33$。行列から出した値と一致します。

列の作り方を言葉にすると

手順は $1$ つだけです。基底の各元に $\alpha$ を掛け、結果を基底で書き直して係数を縦に並べる^[2]。

行と列をとり違えると転置行列になります。行列式は変わりませんが、トレースも変わらないので実害は出ません。それでも手順を固定しておくほうが安全です。

$3$ 次体で同じことをする

$K=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ で $\alpha =1+\theta$（$\theta =\sqrt[3]{2}$）のノルムとトレースを求めてください。

基底は $\{1,\theta ,{\theta }^2\}$ です。${\theta }^3=2$ を使って書き直します。

$\alpha \cdot 1=1+\theta$、$\alpha \cdot \theta =\theta +{\theta }^2$、$\alpha \cdot {\theta }^2={\theta }^2+{\theta }^3=2+{\theta }^2$。

$$[{\mu }_{\alpha }]=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ 1& 1& 0\\ 0& 1& 1\end{array}\right)$$

対角の和は $3$。行列式は $1\cdot (1-0)-0\cdot (1-0)+2\cdot (1-0)=3$ です。

答えは $\mathrm{Tr}(\alpha )=3$、$N(\alpha )=3$。

別の道でも確かめられます。$\theta =\alpha -1$ に ${\theta }^3=2$ を入れると $(\alpha -1{)}^3=2$、展開して ${\alpha }^3-3{\alpha }^2+3\alpha -3=0$。$X^2$ の係数が $-3$ なのでトレースが $3$、定数項が $-3$ なので $N=(-1{)}^3\cdot (-3)=3$ です^[1]。

単数かどうかを行列式で見る

$\mathbb{Z}[\sqrt{7}]$ で $8+3\sqrt{7}$ が単数かを判定してください。

$\sqrt{7}\cdot 3\sqrt{7}=21$ が右上に来ます。

$$[{\mu }_{\alpha }]=\left(\begin{array}{cc}8& 21\\ 3& 8\end{array}\right)$$

行列式は $64-63=1$。$\mathbb{Z}$ で $1$ は可逆なので、$8+3\sqrt{7}$ は単数です^[2]。

判定はいつもこの形です。$b$ が $B$ で可逆であることと、$N(b)$ が $A$ で可逆であることが同値になる^[2]。$A=\mathbb{Z}$ なら $N=\pm 1$ が条件です。

逆元も行列から出ます。行列式が $1$ なので、逆行列は余因子だけで書けます。

$$[{\mu }_{\alpha }{]}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}8& -21\\ -3& 8\end{array}\right)$$

$1$ 列目が $(8,-3)$ なので、逆元は $8-3\sqrt{7}$ です。

次数が下がると特性多項式が重なる

$K=\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})$ で $N_{K/\mathbb{Q}}(\sqrt{2})$ を求めてください。

$-2$ と答えたくなります。$\sqrt{2}$ の最小多項式が $X^2-2$ で、定数項が $-2$ だからです。

ところが $[K:\mathbb{Q}]=4$ で、$\sqrt{2}$ が生成するのは次数 $2$ の部分体だけ。特性多項式は最小多項式の $\frac{4}{2}=2$ 乗になります^[1]。

$$\chi (X)=(X^2-2{)}^2=X^4-4X^2+4$$

定数項が $4$ で次数が偶数なので $N=4$。トレースは $X^3$ の係数が $0$ なので $0$ です。

一般には $N_{L/K}(\alpha )=(-1{)}^n{c}_0^{n/d}$、${\mathrm{Tr}}_{L/K}(\alpha )=-\frac{n}{d}{c}_{d-1}$ になります^[1]。$n$ が全体の次数、$d$ が $\alpha$ の次数です。

トレース形式から判別式を出す

$\mathbb{Z}[\sqrt[3]{2}]$ の判別式を求めてください。

$(x,y)\mapsto \mathrm{Tr}(xy)$ を基底 $\{1,\theta ,{\theta }^2\}$ で行列にします^[2][3]。成分は $\mathrm{Tr}({\theta }^{i+j})$ です。

$\mathrm{Tr}(1)=3$、$\mathrm{Tr}(\theta )=0$、$\mathrm{Tr}({\theta }^2)=0$、$\mathrm{Tr}({\theta }^3)=\mathrm{Tr}(2)=6$、$\mathrm{Tr}({\theta }^4)=\mathrm{Tr}(2\theta )=0$。

$$(\mathrm{Tr}({\theta }^{i+j}))=\left(\begin{array}{ccc}3& 0& 0\\ 0& 0& 6\\ 0& 6& 0\end{array}\right)$$

行列式は $3\cdot (0-36)=-108$。$T^3-2$ の判別式 $-4\cdot 0^3-27\cdot (-2{)}^2=-108$ と一致します。

$-108=-2^2\cdot 27$ なので、$\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ で分岐するのは $2$ と $3$ だけです^[3]。

基底の像を書き直して列に並べる。この $1$ 手で、ノルムもトレースも最小多項式も単数の判定も、行列の計算に落ちます。

出典