mod p で多項式を割って素イデアル分解を出す（二次体から円分体まで）

$\mathbb{Z}[\sqrt{-6}]$ で $(2)$、$(3)$、$(5)$、$(7)$ を素イデアルの積に分けてください。

最小多項式は $T^2+6$ です。$-6\equiv 2(\mathrm{mod}4)$ なので整数環は $\mathbb{Z}[\sqrt{-6}]$ で、指数が $1$。どの素数でもデデキントの定理が使えます^[1]。

${\mathbb{F}}_2$ 上では $T^2+6\equiv T^2$ なので $2$ 乗の形。$(2)=(2,\sqrt{-6}{)}^2$ です。

${\mathbb{F}}_3$ 上でも $T^2+6\equiv T^2$ なので $(3)=(3,\sqrt{-6}{)}^2$。

${\mathbb{F}}_5$ 上では $T^2+6\equiv T^2+1$ で、$2^2=4\equiv -1$ より根は $2$ と $3$。$(5)=(5,\sqrt{-6}-2)(5,\sqrt{-6}+2)$ と $2$ つに分かれます。

${\mathbb{F}}_7$ 上では $T^2+6\equiv T^2-1=(T-1)(T+1)$。$(7)=(7,\sqrt{-6}-1)(7,\sqrt{-6}+1)$ です。

検算に判別式を使います。$d_K=-24=-2^3\cdot 3$ なので分岐するのは $2$ と $3$ だけ^[3]。上の答えで $2$ 乗が出たのがちょうどこの $2$ つです。

$7$ には別の書き方もあります。$N(1+\sqrt{-6})=1+6=7$ なので $(7)=(1+\sqrt{-6})(1-\sqrt{-6})$。この $2$ つの素イデアルは単項です。

$(11)$ と $(13)$ で分かれ目を見る

同じ環で $(11)$ と $(13)$ を分けてください。

${\mathbb{F}}_{11}$ 上で $T^2+6$ の根を探します。$-6\equiv 5(\mathrm{mod}11)$ で、$11$ を法とする平方数は $1,3,4,5,9$。$5$ が入っているので根があります。

$4^2=16\equiv 5$ なので根は $4$ と $7$。$(11)$ は $2$ つの素イデアルに分かれます。

${\mathbb{F}}_{13}$ 上では $-6\equiv 7$。$13$ を法とする平方数は $1,3,4,9,10,12$ で、$7$ が入りません。$T^2+6$ は既約なので $(13)$ は素イデアルのままです。

剰余体は ${\mathbb{F}}_{169}$ になり、$f=2$、$g=1$。$ef$ の和は $2$ で次数と合います。

$\mathbb{Q}(\sqrt{5})$ の $2$ で引っかかる

$\mathbb{Q}(\sqrt{5})$ で $(2)$ を分けてください。

$T^2-5$ を ${\mathbb{F}}_2$ 上で見ると $T^2-1=(T-1{)}^2$ です。分岐しているように読めます。

ところが $5\equiv 1(\mathrm{mod}4)$ なので整数環は $\mathbb{Z}[\sqrt{5}]$ ではなく $\mathbb{Z}\left[\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right]$。指数が $2$ で、$p=2$ はその指数を割ります^[1]。

デデキントの定理には $p\nmid [{\mathcal{O}}_K:\mathbb{Z}[\alpha ]]$ という条件が付いています^[1]。$2$ はこの条件を外れるので、$T^2-5$ から読んだ答えは信用できません。

正しい最小多項式は $\omega =\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ の $T^2-T-1$ です。${\mathbb{F}}_2$ 上で $T^2+T+1$ になり、$T=0,1$ のどちらも根にならないので既約^[1]。

答えは「$(2)$ は素イデアルのまま」。判別式が $5$ で $2$ を含まないことからも、$2$ が分岐しないと分かります。

$3$ 次体で $(5)$ を分ける

$K=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ で $(5)$ を分けてください。

$T^3-2$ の判別式は $-4\cdot 0^3-27\cdot (-2{)}^2=-108$ です。これが ${\mathcal{O}}_K$ の判別式そのものなので指数は $1$、どの素数でも定理が使えます。

${\mathbb{F}}_5$ 上で $T^3-2$ の根を探します。$0^3=0$、$1^3=1$、$2^3=3$、$3^3=2$、$4^3=4$。$T=3$ が根です。

割り算すると $T^3-2=(T-3)(T^2+3T+4)$ になります。$2$ 次の因子の判別式は $9-16=-7\equiv 3(\mathrm{mod}5)$ で、$5$ を法とする平方数 $0,1,4$ に入りません。既約です。

だから $(5)=\mathfrak{pq}$ で、$\mathfrak{p}$ のノルムが $5$、$\mathfrak{q}$ のノルムが $25$。$\sum e_i{f}_i=1\cdot 1+1\cdot 2=3$ で、$[K:\mathbb{Q}]=3$ と合います^[2]。

同じ体で $(31)$ を分ける

${\mathbb{F}}_{31}$ 上で $T^3-2$ の根を探します。$4^3=64=2\cdot 31+2$ なので $4$ が根です。

$31\equiv 1(\mathrm{mod}3)$ なので ${\mathbb{F}}_{31}$ には $1$ の原始 $3$ 乗根があります。$5^3=125=4\cdot 31+1$ なので $5$ がそれ。

残りの根は $4\cdot 5=20$ と $4\cdot 25=100\equiv 7$ です。実際 $7^3=343=11\cdot 31+2$、$20^3=8000=258\cdot 31+2$。

$3$ つの $1$ 次式に分かれるので $(31)={\mathfrak{p}}_1{\mathfrak{p}}_2{\mathfrak{p}}_3$、完全分解です。$ef$ の和は $1+1+1=3$。

円分体では位数を数える

$K=\mathbb{Q}({\zeta }_7)$ で $(2)$ と $(3)$ を分けてください。

円分体では多項式を割る必要がありません。$q$ を $7$ で割った余りの位数だけで決まります^[4]。$q^f\equiv 1(\mathrm{mod}7)$ となる最小の $f$ をとり、$g=\phi (7)/f$ です^[4]。

$2$ の位数を数えます。$2^1=2$、$2^2=4$、$2^3=8\equiv 1$。$f=3$ なので $g=6/3=2$。$(2)$ は $2$ つの素イデアルに分かれ、それぞれのノルムが $2^3=8$ です。

$3$ の位数は $3,2,6,4,5,1$ と並んで $f=6$。$g=1$ なので $(3)$ は素イデアルのままです。$3$ が $7$ を法とする原始根だから、と言いかえられます。

$29\equiv 1(\mathrm{mod}7)$ なので位数が $1$、つまり完全分解します^[4]。$q\equiv 1(\mathrm{mod}n)$ が完全分解の条件です。

検算はいつも同じ式

どの問題でも最後に $\sum e_i{f}_i=n$ を確かめます^[2]。

和が次数と合わなければ、どこかで因子を落としています。${\mathbb{F}}_p$ 上の因数分解が完全でなかった場合に起きやすい。

多項式を ${\mathbb{F}}_p$ 上で割る、指数の条件を確かめる、$\sum e_i{f}_i=n$ で検算する。この $3$ 手で、二次体も $3$ 次体も円分体も同じ手順に乗ります。

参考文献