平方因子を外し、余りを見て、二次体の整数環と判別式を決める

$K=\mathbb{Q}(\sqrt{-6})$ の整数環と判別式を求めてください。分岐する素数もすべて挙げること。

$-6$ は平方因子を持ちません。$4$ で割った余りは $2$ なので、整数環は $\mathbb{Z}[\sqrt{-6}]$ です^[1]。基底は $\{1,\sqrt{-6}\}$。

判別式はトレース形式の行列式で出ます。$\mathrm{Tr}(1)=2$、$\mathrm{Tr}(\sqrt{-6})=0$、$\mathrm{Tr}(-6)=-12$ なので $2\times (-12)-0=-24$ です。

$-24=-2^3\cdot 3$ なので、分岐する素数は $2$ と $3$。判別式を素因数分解するだけで一覧が出ます^[1]。

検算として $d\equiv 2,3(\mathrm{mod}4)$ のときの公式 $d_K=4d$ を当てると、$4\times (-6)=-24$ で一致します^[3]。

$\mathbb{Q}(\sqrt{17})$ で同じことをする

$17$ を $4$ で割ると $1$ 余ります。ここで基底が変わる。

整数環は $\mathbb{Z}\left[\frac{1+\sqrt{17}}{2}\right]$ です^[1]。$\omega =\frac{1+\sqrt{17}}{2}$ とおくと、$\omega$ は $X^2-X-4=0$ の根なので係数が整数になります。

判別式を計算します。$\mathrm{Tr}(1)=2$、$\mathrm{Tr}(\omega )=1$、${\omega }^2=\omega +4$ より $\mathrm{Tr}({\omega }^2)=1+8=9$。

$$d_K=\det \left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 9\end{array}\right)=18-1=17$$

公式 $d_K=d$ と一致します。分岐するのは $17$ だけ。

$\mathbb{Z}[\sqrt{17}]$ を整数環と間違えると判別式が $68$ になり、$2$ が分岐しているように見えてしまいます。実際には $2$ は分岐しません。

$\mathbb{Q}(\sqrt{-45})$ は書き換えから始める

$-45$ には平方因子 $9$ があります。$\sqrt{-45}=3\sqrt{-5}$ なので、体としては $\mathbb{Q}(\sqrt{-5})$ と同じもの。

$d=-5$ に直してから手順に入ります。$-5$ を $4$ で割った余りは $3$ なので整数環は $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$、判別式は $4\times (-5)=-20$ です。

$-20=-2^2\cdot 5$ なので分岐するのは $2$ と $5$。

平方因子を残したままだと手順が崩れます。整数環の決定では「$d{r}^2\in \mathbb{Z}$ なら $r\in \mathbb{Z}$」を使いますが、これが成り立つのは $d$ に平方因子がないときだけです^[1]。

$\mathbb{Q}(\sqrt{63})$ でもう一度

$63=9\cdot 7$ なので $\mathbb{Q}(\sqrt{63})=\mathbb{Q}(\sqrt{7})$ です。

$7$ を $4$ で割った余りは $3$。整数環は $\mathbb{Z}[\sqrt{7}]$ で、判別式は $28$、分岐するのは $2$ と $7$ になります。

$63$ を $4$ で割った余りは $3$ で、そのまま $4\times 63=252$ としたくなります。$252=2^2\cdot 3^2\cdot 7$ なので $3$ が分岐すると読めてしまう。書き換えを先にやるかどうかで答えが変わります。

この $2$ つの数は整数環に入るか

$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$ と $\frac{1+\sqrt{6}}{2}$ について、それぞれ判定してください。

判定はトレースとノルムが整数かどうかで済みます^[2]。$\alpha =\frac{a+b\sqrt{d}}{2}$ なら $\mathrm{Tr}(\alpha )=a$、$N(\alpha )=\frac{a^2-d{b}^2}{4}$。

$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$ ではトレースが $3$、ノルムが $\frac{9-17}{4}=-2$。どちらも整数なので代数的整数です。

$\frac{1+\sqrt{6}}{2}$ ではトレースが $1$、ノルムが $\frac{1-6}{4}=-\frac{5}{4}$。整数にならないので入りません。

$6$ を $4$ で割った余りが $2$ であることと対応しています。分母 $2$ が許されるのは $d\equiv 1(\mathrm{mod}4)$ のときだけ^[1]。

判別式 $-104$ から体を復元する

判別式が $-104$ になる二次体を求めてください。

$-104$ を $4$ で割ると $-26$ で、余りは $0$。だから $d_K=4d$ の側と見て $d=-26$ を候補にします。

$-26$ に平方因子はなく、$4$ で割った余りは $2$。$d\equiv 2(\mathrm{mod}4)$ の条件を満たすので、確かに $d_K=4\times (-26)=-104$ です。

答えは $\mathbb{Q}(\sqrt{-26})$。判別式は体を一意に決めるので、これ以外にありません^[3]。

$-104=-2^3\cdot 13$ なので、分岐するのは $2$ と $13$ です。

判別式になりえない数

$-14$、$6$、$12$、$-15$ のうち、どの数体の判別式にもなれないものはどれか。

どの数体でも $d_K\equiv 0$ または $1(\mathrm{mod}4)$ が成り立ちます。シュティッケルベルガーの判別式定理です。

$4$ で割った余りを並べると、$-14$ は $2$、$6$ は $2$、$12$ は $0$、$-15$ は $1$。$-14$ と $6$ が条件を満たしません。

残る $2$ つは実際に判別式になります。$12=4\times 3$ で $3\equiv 3(\mathrm{mod}4)$ なので $\mathbb{Q}(\sqrt{3})$、$-15\equiv 1(\mathrm{mod}4)$ なので $\mathbb{Q}(\sqrt{-15})$ です。

分岐する素数を全部挙げる

$\mathbb{Q}(\sqrt{-6})$、$\mathbb{Q}(\sqrt{13})$、$\mathbb{Q}(\sqrt{10})$ の $3$ つについて、分岐する素数を挙げてください。

判別式を出して素因数分解するだけです^[1]。

$\mathbb{Q}(\sqrt{13})$ で $2$ が分岐しないところが要点です。$13\equiv 1(\mathrm{mod}4)$ なので判別式が $13$ で止まり、$4$ が付きません。

$\mathbb{Q}(\sqrt{10})$ では $10\equiv 2(\mathrm{mod}4)$ なので判別式が $40=2^3\cdot 5$。$2$ が入ります。

$\mathbb{Q}$ 以外の数体では $|d_K|>1$ が成り立つので、分岐する素数が必ず $1$ つはあります^[1]。分岐しない数体は $\mathbb{Q}$ だけ。

平方因子を外す、$4$ で割った余りを見る、判別式を素因数分解する。順番を守るだけで、整数環も分岐素数も同時に決まります。

参考